Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 No. 21 - 25_Hallo, Sobat Pejuang UN. Kali ini saya akan membahas Soal UN Matematika SMA IPA tahun 2017 part 5. Pada edisi kali ini soal-soalnya berisikan materi tentang :
- Aplikasi Turunan (Gradien Garis Singgung)
- Aplikasi Turunan (Nilai Maksimum)
- Integral Metode Substitusi
- Integral Tentu
- Aturan Sinus dan Cosinus Trigonometri
Nah, bagi sobat pejuang UN yang ingin mengetahui pembahasan sebelumnya silahkan sobat klik pada tautan di bawah ini :
1. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.1 No. 1 - 5
2. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.2 No. 6 - 10
3. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.3 No. 11-15
4. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.4 No. 16-20
Soal Nomor 21
Diketahui grafik fungsi $y = 2x^{2} − 3x + 7$ berpotongan dengan garis $y = 4x + 1$. Salah satu persamaan garis singgung yang melalui titik potong kurva dan garis tersebut adalah .........A. $y=5x+7$
B. $y=5x-1$
C. $y=x+5$
D. $y=3x-7$
E. $y=3x+5$
Pembahasan Soal Nomor 21
Penyelesaian :
Mencari Titik potong Grafik fungsi kurva dengan garis
$\begin{align} y_{\text{kurva}} & = y_{\text{garis}} \\ 2x^{2} − 3x + 7 & = 4x + 1 \\ 2x^{2} − 7x + 6 & = 0 \\ \left(2x-3\right)\left(x-2\right) & = 0 \end {align} \\ x_{1} = \dfrac {3}{2} \quad \text{atau} \quad x_{2} = 2 $
Selanjutnya, nilai absis $x_{1}$ dan $x_{1}$, kita substitusikan ke ke fungsi kurva atau garis untuk mendapatkan nilai ordinatnya. Agar lebih mudah kita pilih substitusikan ke fungsi garis saja.
$y = 4x + 1$
$x_{1} = \dfrac {3}{2} \; \Longrightarrow y = 4\left(\dfrac {3}{2}\right) + 1 = 7 \\ x_{2} = 2 \; \Longrightarrow y = 4\left(2\right) + 1 = 9$
Sehingga, diperoleh titik potong kurva dan garis tersebut adalah:
$\left(\frac {3}{2}, 7\right)$ dan $\left(2,9\right)$
Selanjutnya kita tentukan gradien garis singgung. Gradien merupakan turunan dari fungsi kurva $y = 2x^{2} − 3x + 7$
$m = y^{1} = \frac{dy}{dx} \\ m = 4x - 3$
Gradien garis singgung titik $\left(\frac {3}{2}, 7\right)$ adalah
$x_{1} = \dfrac {3}{2} \; \Longrightarrow m_{1} = 4\left(\dfrac {3}{2}\right) - 3 = 3$
Gradien garis singgung titik $\left(2, 9\right)$ adalah
$x_{2} = 2 \; \Longrightarrow m_{2} = 4\left(2\right) - 3 = 5$
Persamaan garis singgung titik $\left(\frac {3}{2}, 7\right)$ adalah
$\begin{align} y - y_{1} & = m_{1} \left(x - x_{1}\right) \\ y - 7 & = 3 \left(x - \dfrac {3}{2}\right) \\ y - 7 & = 3x - \dfrac {9}{2} \\ y & = 3x + \dfrac {5}{2} \end{align}$
Persamaan garis singgung titik $\left(2, 9\right)$ adalah
$\begin{align} y - y_{2} & = m_{2} \left(x - x_{2}\right) \\ y - 9 & = 5 \left(x - 2\right) \\ y - 9 & = 5x - 10 \\ y & = 5x - 1 \end{align}$
Jadi, salah satu persamaan garis singgung tersebut sesuai pada opsi jawaban adalah $y = 5x - 1$
Jawab : B
Mencari Titik potong Grafik fungsi kurva dengan garis
$\begin{align} y_{\text{kurva}} & = y_{\text{garis}} \\ 2x^{2} − 3x + 7 & = 4x + 1 \\ 2x^{2} − 7x + 6 & = 0 \\ \left(2x-3\right)\left(x-2\right) & = 0 \end {align} \\ x_{1} = \dfrac {3}{2} \quad \text{atau} \quad x_{2} = 2 $
Selanjutnya, nilai absis $x_{1}$ dan $x_{1}$, kita substitusikan ke ke fungsi kurva atau garis untuk mendapatkan nilai ordinatnya. Agar lebih mudah kita pilih substitusikan ke fungsi garis saja.
$y = 4x + 1$
$x_{1} = \dfrac {3}{2} \; \Longrightarrow y = 4\left(\dfrac {3}{2}\right) + 1 = 7 \\ x_{2} = 2 \; \Longrightarrow y = 4\left(2\right) + 1 = 9$
Sehingga, diperoleh titik potong kurva dan garis tersebut adalah:
$\left(\frac {3}{2}, 7\right)$ dan $\left(2,9\right)$
Selanjutnya kita tentukan gradien garis singgung. Gradien merupakan turunan dari fungsi kurva $y = 2x^{2} − 3x + 7$
$m = y^{1} = \frac{dy}{dx} \\ m = 4x - 3$
Gradien garis singgung titik $\left(\frac {3}{2}, 7\right)$ adalah
$x_{1} = \dfrac {3}{2} \; \Longrightarrow m_{1} = 4\left(\dfrac {3}{2}\right) - 3 = 3$
Gradien garis singgung titik $\left(2, 9\right)$ adalah
$x_{2} = 2 \; \Longrightarrow m_{2} = 4\left(2\right) - 3 = 5$
Persamaan garis singgung titik $\left(\frac {3}{2}, 7\right)$ adalah
$\begin{align} y - y_{1} & = m_{1} \left(x - x_{1}\right) \\ y - 7 & = 3 \left(x - \dfrac {3}{2}\right) \\ y - 7 & = 3x - \dfrac {9}{2} \\ y & = 3x + \dfrac {5}{2} \end{align}$
Persamaan garis singgung titik $\left(2, 9\right)$ adalah
$\begin{align} y - y_{2} & = m_{2} \left(x - x_{2}\right) \\ y - 9 & = 5 \left(x - 2\right) \\ y - 9 & = 5x - 10 \\ y & = 5x - 1 \end{align}$
Jadi, salah satu persamaan garis singgung tersebut sesuai pada opsi jawaban adalah $y = 5x - 1$
Jawab : B
Soal Nomor 22
Sebuah akuarium tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebarnya 2 : 3. Jika luas permukaan akuarium adalah $1.800 \; \text{cm}^{2}$, volume maksimum akuarium tersebut adalah .........A. $\text {3.600 cm}^{3}$
B. $\text {5.400 cm}^{3}$
C. $\text {6.300 cm}^{3}$
D. $\text {7.200 cm}^{3}$
E. $\text {8.100 cm}^{3}$
Pembahasan Soal Nomor 22
Penyelesaian :
Rumus Luas permukaan balok
Rumus Luas permukaan balok Tanpa Tutup
Diketahui :
$\begin{align} \text{L}_{p} & = 1.800 \; \text{cm}^{2} \\ \frac {p} {l} & = \frac{3}{2} \rightarrow p = \frac{3}{2}l \end{align}$
Mencari tinggi akuarium
$\begin{align} \text{L}_{p} & = pl + 2pt + 2lt \\ 1.800 & = \frac{3}{2}l.l + 2.\frac{3}{2}l.t. + 2lt \\ 1.800 & = \frac{3}{2}l^{2} + 3lt + 2lt \\ 1.800 & = \frac{3}{2}l^{2} + 5lt \\ 1.800 - \frac{3}{2}l^{2} & = 5lt \\ t & = \dfrac {1.800 - \frac{3}{2}l^{2}}{5l}\\ t & = \dfrac {360}{l} - \dfrac {3}{10}l \end {align}$
Mencari volume akuarium
$\begin {align} \text{V}\left(l\right) & = p \times l \times t \\ & = \frac{3}{2}l \times l \times \left(\dfrac {360}{l} - \dfrac {3}{10}l \right) \\ & = \frac{3}{2}l^{2}\times \left(\dfrac {360}{l} - \dfrac {3}{10}l \right) \\ & = 540l - \dfrac {9}{20}l^{3} \end {align}$
Volume akan maksimum bila turunan fungsi volume sama dengan nol
$\begin {align} V\left(l\right) & = 0 \\ 540l - \dfrac {9}{20}l^{3} & = 0 \\ 540 - \dfrac {27}{20}l^{2} & = 0 \\ 540 & = \dfrac {27}{20}l^{2} \\ l^{2} & = 540 \times \dfrac {20}{27} \\ l^{2} & = 400 \\ l & = 20 \end {align}$
Dengan demikian, volume akuarium akan maksimum bila lebarnya 20 cm
$\begin {align} V\left(l\right) & = 540l - \dfrac {9}{20}l^{3} \\ V\left(20\right) & = 540l - \dfrac {9}{20}l^{3} \\ & = 540 \left(20\right) - \dfrac {9}{20}.\left(20\right)^{3} \\ & = 10800 - \dfrac {9}{20}.8000 \\ & = 10800 - 3600 \\ & = \text {7.200 cm}^{3} \end {align}$
Jadi, volume maksimum akuarium tersebut adalah $\text {7.200 cm}^{3}$
Jawab : D
Rumus Luas permukaan balok
$\text{L}_{p} = 2\left(pl + pt + lt\right)$
Rumus Luas permukaan balok Tanpa Tutup
$\text{L}_{p} = pl + 2pt + 2lt$
Diketahui :
$\begin{align} \text{L}_{p} & = 1.800 \; \text{cm}^{2} \\ \frac {p} {l} & = \frac{3}{2} \rightarrow p = \frac{3}{2}l \end{align}$
Mencari tinggi akuarium
$\begin{align} \text{L}_{p} & = pl + 2pt + 2lt \\ 1.800 & = \frac{3}{2}l.l + 2.\frac{3}{2}l.t. + 2lt \\ 1.800 & = \frac{3}{2}l^{2} + 3lt + 2lt \\ 1.800 & = \frac{3}{2}l^{2} + 5lt \\ 1.800 - \frac{3}{2}l^{2} & = 5lt \\ t & = \dfrac {1.800 - \frac{3}{2}l^{2}}{5l}\\ t & = \dfrac {360}{l} - \dfrac {3}{10}l \end {align}$
Mencari volume akuarium
$\begin {align} \text{V}\left(l\right) & = p \times l \times t \\ & = \frac{3}{2}l \times l \times \left(\dfrac {360}{l} - \dfrac {3}{10}l \right) \\ & = \frac{3}{2}l^{2}\times \left(\dfrac {360}{l} - \dfrac {3}{10}l \right) \\ & = 540l - \dfrac {9}{20}l^{3} \end {align}$
Volume akan maksimum bila turunan fungsi volume sama dengan nol
$\begin {align} V\left(l\right) & = 0 \\ 540l - \dfrac {9}{20}l^{3} & = 0 \\ 540 - \dfrac {27}{20}l^{2} & = 0 \\ 540 & = \dfrac {27}{20}l^{2} \\ l^{2} & = 540 \times \dfrac {20}{27} \\ l^{2} & = 400 \\ l & = 20 \end {align}$
Dengan demikian, volume akuarium akan maksimum bila lebarnya 20 cm
$\begin {align} V\left(l\right) & = 540l - \dfrac {9}{20}l^{3} \\ V\left(20\right) & = 540l - \dfrac {9}{20}l^{3} \\ & = 540 \left(20\right) - \dfrac {9}{20}.\left(20\right)^{3} \\ & = 10800 - \dfrac {9}{20}.8000 \\ & = 10800 - 3600 \\ & = \text {7.200 cm}^{3} \end {align}$
Jadi, volume maksimum akuarium tersebut adalah $\text {7.200 cm}^{3}$
Jawab : D
Soal Nomor 23
Hasil dari $\displaystyle \int \dfrac {x^{2}}{\sqrt{x^{3}+2}}dx$ adalah .......A. $\dfrac {4}{3} \sqrt{x^{3}+2} + C $
B. $- \dfrac {4}{3} \sqrt{x^{3}+2} + C $
C. $\dfrac {2}{3} \sqrt{x^{3}+2} + C $
D. $- \dfrac {2}{3} \sqrt{x^{3}+2} + C $
E. $\sqrt{x^{3}+2} + C $
Pembahasan Soal Nomor 23
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan soal integral di atas tidak bisa diselesaikan dengan cara biasa atau cara langsung dengan menggunakan rumus dasar integral . Sebab, Tipe soal integral di atas merupakan tipe soal integral subtitusi (soal integral yang diselesaikan dengan metode subtitusi).
Cara untuk membedakan tipe soal integral yang bisa diselesaikan dengan metode substitusi adalah Anda cukup menurunkan salah satu bagian (integran) dari soal tersebut. Jika turunannya ada hubungannya dengan bagian yang lain maka pakai integral substitusi. Namun, jika turunannya tidak ada hubungannya dengan bagian yang lain (biasanya ada x yang belum bisa diubah dalam u) maka pakai integral Parsial.
Langkah-langkah teknik pengintegralan metode substitusi :
Oke, langsung saja kita selesaikan soal integral di atas.
Misalkan :
$\begin {align} u & = x^{3} + 2 \\ \dfrac {du}{dx}& = 3x^{2} \\ 3x^{2} \; dx & = du \\ 3\left(x^{2}\right)\; dx & = du \\ x^{2}\; dx & = \dfrac{1}{3} du \\ \end {align}$
Permisalan di atas, kita subtitusikan kedalam soal
$\begin {align} & \quad \displaystyle \int \dfrac {x^{2}}{\sqrt{x^{3}+2}}dx \\ \\ & =\displaystyle \int \dfrac {\frac{1}{3} du}{\sqrt{u}} \\ \\ & = \displaystyle \int \dfrac{1}{3}.u^{-{1/2}}.du \\ \\ & = \dfrac {\frac{1}{3}}{-\frac{1}{2}+1} . u^{{1/2}} + C \\ \\ & = \dfrac {2}{3}. u^{{1/2}} + C \\ \\ & = \dfrac {2}{3}\left(x^{3} + 2\right)^{{1/2}} + C \\ \\ & = \dfrac {2}{3} \sqrt{x^{3}+2} + C \end {align}$
Jadi, hasil dari integral substitusi tersebut adalah $\dfrac {2}{3} \sqrt{x^{3}+2} + C$
Jawab : C
Untuk menyelesaikan soal integral di atas tidak bisa diselesaikan dengan cara biasa atau cara langsung dengan menggunakan rumus dasar integral . Sebab, Tipe soal integral di atas merupakan tipe soal integral subtitusi (soal integral yang diselesaikan dengan metode subtitusi).
Cara untuk membedakan tipe soal integral yang bisa diselesaikan dengan metode substitusi adalah Anda cukup menurunkan salah satu bagian (integran) dari soal tersebut. Jika turunannya ada hubungannya dengan bagian yang lain maka pakai integral substitusi. Namun, jika turunannya tidak ada hubungannya dengan bagian yang lain (biasanya ada x yang belum bisa diubah dalam u) maka pakai integral Parsial.
Langkah-langkah teknik pengintegralan metode substitusi :
- Misalkan salah satu fungsi sebagai u.
- Turunkan fungsi u terhadap x
- Bentuk hubungan keduanya (a dx = n du)
- Substitusi fungsi pemisalan ke bentuk integral awal
- Setelah diintegralkan, kembalikan fungsi pemisalan ke bentuk awalnya.
Oke, langsung saja kita selesaikan soal integral di atas.
Misalkan :
$\begin {align} u & = x^{3} + 2 \\ \dfrac {du}{dx}& = 3x^{2} \\ 3x^{2} \; dx & = du \\ 3\left(x^{2}\right)\; dx & = du \\ x^{2}\; dx & = \dfrac{1}{3} du \\ \end {align}$
Permisalan di atas, kita subtitusikan kedalam soal
$\begin {align} & \quad \displaystyle \int \dfrac {x^{2}}{\sqrt{x^{3}+2}}dx \\ \\ & =\displaystyle \int \dfrac {\frac{1}{3} du}{\sqrt{u}} \\ \\ & = \displaystyle \int \dfrac{1}{3}.u^{-{1/2}}.du \\ \\ & = \dfrac {\frac{1}{3}}{-\frac{1}{2}+1} . u^{{1/2}} + C \\ \\ & = \dfrac {2}{3}. u^{{1/2}} + C \\ \\ & = \dfrac {2}{3}\left(x^{3} + 2\right)^{{1/2}} + C \\ \\ & = \dfrac {2}{3} \sqrt{x^{3}+2} + C \end {align}$
Jadi, hasil dari integral substitusi tersebut adalah $\dfrac {2}{3} \sqrt{x^{3}+2} + C$
Jawab : C
Soal Nomor 24
Nilai $\displaystyle \int_{1}^{3} \left(6x^{2}-6x-6\right)dx$ adalah ........A. $16$
B. $20$
C. $22$
D. $32$
E. $38$
Pembahasan Soal Nomor 24
Penyelesaian :
Rumus yang digunakan
$\begin{align} & \quad \displaystyle \int_{1}^{3} \left(6x^{2}-6x-6\right)dx \\ & = \left [2x^{3} - 3x^{2} - 6x \right]_{1}^{3} \\ & = \left [2 \left(3\right)^{3} - 3\left(3\right)^{2} - 6\left(3\right) \right] - \left [2 \left(1\right)^{3} - 3\left(1\right)^{2} - 6\left(1\right) \right] \\ & = \left(54 - 27 - 18\right) -\left(2 - 3 - 6\right) \\ & = 9 + 7 \\ & = 16 \end{align}$
Jadi, nilai dari integral tentu di atas adalah $16$
Jawab : A
Rumus yang digunakan
$\displaystyle \int_{a}^{b}f\left(x\right) dx = \left [F\left(x\right)\right]_{a}^{b} = F\left(b\right) - F\left(a\right)$
$\begin{align} & \quad \displaystyle \int_{1}^{3} \left(6x^{2}-6x-6\right)dx \\ & = \left [2x^{3} - 3x^{2} - 6x \right]_{1}^{3} \\ & = \left [2 \left(3\right)^{3} - 3\left(3\right)^{2} - 6\left(3\right) \right] - \left [2 \left(1\right)^{3} - 3\left(1\right)^{2} - 6\left(1\right) \right] \\ & = \left(54 - 27 - 18\right) -\left(2 - 3 - 6\right) \\ & = 9 + 7 \\ & = 16 \end{align}$
Jadi, nilai dari integral tentu di atas adalah $16$
Jawab : A
Soal Nomor 25
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tiga angka $080^{\circ}$ sejauh $\text{60 km}$. Kemudian berlayar menuju ke pelabuhan C dengan jurusan $200^{\circ}$ sejauh $\text{80 km}$. Jarak antara pelabuhan C dan A adalah ........
A. $10 \text{km}$
B. $5 \sqrt{13} \text{km}$
C. $10 \sqrt{13} \text{km}$
D. $20 \sqrt{13} \text{km}$
E. $100 \text{km}$
Pembahasan Soal Nomor 25
Penyelesaian :
Perhatikan Rute perjalanan kapal berikut ini:
Berdasarkan gambar di atas, jarak A dan C adalah
Menggunakan Aturan Cosinus
$\begin{align} \text{AC}^{2} & = \text{AB}^{2} + \text{BC}^{2} - 2.\text{AB}.\text{BC}. \cos \beta \\ & = 60^{2} + 80^{2} - 2.60.80.\cos 60^{\circ} \\ & = 3600 + 6400 - 2.60.80.\dfrac {1}{2} \\ & = 10000 - 4800 \\ & = 5200 \\ \text{AC} & = \sqrt {5200} \\ & = \sqrt {400 \times 13} \\ & = 20 \sqrt {13} \end {align}$
Jadi, jarak antara pelabuhan C dan A adalah $20 \sqrt{13} \; \text{km}$
Jawab : D
Perhatikan Rute perjalanan kapal berikut ini:
Berdasarkan gambar di atas, jarak A dan C adalah
Menggunakan Aturan Cosinus
$\begin{align} \text{AC}^{2} & = \text{AB}^{2} + \text{BC}^{2} - 2.\text{AB}.\text{BC}. \cos \beta \\ & = 60^{2} + 80^{2} - 2.60.80.\cos 60^{\circ} \\ & = 3600 + 6400 - 2.60.80.\dfrac {1}{2} \\ & = 10000 - 4800 \\ & = 5200 \\ \text{AC} & = \sqrt {5200} \\ & = \sqrt {400 \times 13} \\ & = 20 \sqrt {13} \end {align}$
Jadi, jarak antara pelabuhan C dan A adalah $20 \sqrt{13} \; \text{km}$
Jawab : D
Demikianlah pembahasan soal UN Matematika SMA IPA 2017 part.5 No. 21 - 25 dan jangan lupa kunjungi artikel menarik lainnya di blog ini.
NEXT :
Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.6 No. 26 - 30
Terima kasih telah berkunjung dan meluangkan waktunya untuk membaca artikel sederhana ini yang berjudul "Pembahasan Soal UN Matematika SMA No. 21 - 25". Semoga informasi yang terkandung dalam tulisan ini dapat bermanfaat bagi anda yang membutuhkannya.
Salam sukses untuk kita semua....!!!
Note : Silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.
PERHATIAN !!!
Terima Kasih Telah Berkunjung ke Blog Caraono.com
1. Berkomentarlah dengan Baik dan Sopan
2. No Link Aktif
3. Mohon Maaf apabila ada pertanyaan anda yang belum atau tidak bisa dijawab karena saya manusia biasa bukan Google
Thanks for visiting and the comment :)
EmoticonEmoticon