Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 No. 26 - 30_Hallo, Sobat Pejuang UN. Kali ini saya akan membahas Soal UN Matematika SMA IPA tahun 2017 part 6. Pada edisi kali ini soal-soalnya berisikan materi tentang :
- Persamaan Trigonometri
- Mencari Nilai Jumlah dan Selisih Dua Sudut Trigonometri
- Mencari Nilai Jumlah dan Selisih pada Sinus dan Cosinus
- Sudut Antara Garis dan Bidang Dalam Dimensi Tiga
- Jarak Antara Titik, Garis, dan Bidang Dalam Dimensi Tiga.
Nah, bagi sobat pejuang UN yang ingin mengetahui pembahasan sebelumnya silahkan sobat klik pada tautan di bawah ini :
1. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.1 No. 1 - 5
2. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.2 No. 6 - 10
3. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.3 No. 11-15
4. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.4 No. 16-20
5. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.5 No. 21-25
Soal Nomor 26
Himpunan penyelesaian persamaan $\cos2x − \sinx = 0,$ untuk $0 \leq x \leq 2\pi$ adalah .........A. $\dfrac {\pi}{6},\dfrac {5\pi}{6}, \pi $
B. $\dfrac {\pi}{6},\dfrac {5\pi}{6}, \dfrac {3\pi}{2} $
C. $\dfrac {\pi}{3},\dfrac {2\pi}{3}, \dfrac {3\pi}{2} $
D. $\dfrac {\pi}{3},\dfrac {4\pi}{3}, \dfrac {3\pi}{2} $
E. $\dfrac {7\pi}{6},\dfrac {3\pi}{2}, \dfrac {11\pi}{6} $
Pembahasan Soal Nomor 26
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan soal persamaan trigonometri di atas, yang harus kita lakukan adalah mengubah bentuk soal persamaan trigonometrinya menjadi sejenis.
Dalam hal ini, kita mengubah cosinus $\left(\cos2x \right)$ menjadi sinus dengan menggunakan rumus trigonometri sudut ganda atau rangkap di bawah ini.
Rumus Trigonometri Sudut Ganda atau Rangkap
$ \cos 2\alpha = \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha \\ \cos 2\alpha = 2 \cos^{2} \alpha - 1 \\ \bbox[yellow,5px] {\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^{2} \alpha}$
Oke, mari kita selesaikan soal di atas.
$\begin{align} \cos2x − \sinx & = 0 \\ 1 - 2 \sin^{2} x - \sinx & = 0 \\ - 2 \sin^{2} x - \sinx + 1 & = 0 \\ 2 \sin^{2} x + \sinx - 1 & = 0 \\ \left(2 \sinx − 1\right) \left(\sin x + 1\right) & = 0 \\ \sin x = \dfrac {1}{2} \quad \text{atau} \quad \sin x & = -1 \end{align}$
Untuk $\sin x = \dfrac {1}{2}$ (positif), nilai $x$ nya berada pada kuadran I dan II.
$\begin {align} \sin x & = \dfrac {1}{2} \\ & = \sin 30^{\circ} \end {align}$
Kuadran I (satu)
$\begin {align} x & = 30^{\circ} \\ & = \dfrac {\pi}{6} \end {align}$
Kuadran II (dua)
$\begin {align} x & = 180^{\circ} - 30^{\circ} \\ & = 150^{\circ} \\ & = \dfrac {5\pi}{6} \end {align}$
Sedangkan untuk $\sin x = −1$ hanya mempunyai satu nilai pada interval $0 \leq x \leq 2\pi$.
$\begin {align} \sin x & = -1 \\ x & = 270^{\circ} \\ & = \dfrac {3\pi}{2} \end {align}$
Maka, himpunan penyelesaiannya adalah $\dfrac {\pi}{6},\dfrac {5\pi}{6}, \dfrac {3\pi}{2}$
Jawab : B
Untuk menyelesaikan soal persamaan trigonometri di atas, yang harus kita lakukan adalah mengubah bentuk soal persamaan trigonometrinya menjadi sejenis.
Dalam hal ini, kita mengubah cosinus $\left(\cos2x \right)$ menjadi sinus dengan menggunakan rumus trigonometri sudut ganda atau rangkap di bawah ini.
Rumus Trigonometri Sudut Ganda atau Rangkap
$ \cos 2\alpha = \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha \\ \cos 2\alpha = 2 \cos^{2} \alpha - 1 \\ \bbox[yellow,5px] {\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^{2} \alpha}$
Oke, mari kita selesaikan soal di atas.
$\begin{align} \cos2x − \sinx & = 0 \\ 1 - 2 \sin^{2} x - \sinx & = 0 \\ - 2 \sin^{2} x - \sinx + 1 & = 0 \\ 2 \sin^{2} x + \sinx - 1 & = 0 \\ \left(2 \sinx − 1\right) \left(\sin x + 1\right) & = 0 \\ \sin x = \dfrac {1}{2} \quad \text{atau} \quad \sin x & = -1 \end{align}$
Untuk $\sin x = \dfrac {1}{2}$ (positif), nilai $x$ nya berada pada kuadran I dan II.
$\begin {align} \sin x & = \dfrac {1}{2} \\ & = \sin 30^{\circ} \end {align}$
Kuadran I (satu)
$\begin {align} x & = 30^{\circ} \\ & = \dfrac {\pi}{6} \end {align}$
Kuadran II (dua)
$\begin {align} x & = 180^{\circ} - 30^{\circ} \\ & = 150^{\circ} \\ & = \dfrac {5\pi}{6} \end {align}$
Sedangkan untuk $\sin x = −1$ hanya mempunyai satu nilai pada interval $0 \leq x \leq 2\pi$.
$\begin {align} \sin x & = -1 \\ x & = 270^{\circ} \\ & = \dfrac {3\pi}{2} \end {align}$
Maka, himpunan penyelesaiannya adalah $\dfrac {\pi}{6},\dfrac {5\pi}{6}, \dfrac {3\pi}{2}$
Jawab : B
Soal Nomor 27
Diketahui $\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{2}{5}$ dan $\left(\alpha + \beta \right) = \dfrac {5\pi}{6}.$ Nilai $\sin\left(\alpha − \beta\right) =.... $A. $- \dfrac {1}{2}$
B. $- \dfrac {3}{10}$
C. $- \dfrac {1}{10}$
D. $ \dfrac {3}{10}$
E. $ \dfrac {1}{2}$
Pembahasan Soal Nomor 27
Penyelesaian :
Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Trigonometri :
Dik :
$\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{2}{5} \\ \left(\alpha + \beta \right) = \dfrac {5\pi}{6} = \dfrac {5 \times 180^{\circ}}{6} = 150^{\circ}$
Perhatikan Rumus di atas !!!
Sebelum kita mencari nilai $\sin\left(\alpha − \beta\right)$, pertama-tama kita harus mencari nilai $\cos\alpha \sin\beta$ terlebih dahulu
.
Mencari Nilai $\cos\alpha \sin\beta$
Gunakan Rumus Jumlah Dua Sudut Trigonometri
$\begin{align} \sin \left(\alpha + \beta \right) & = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \\ \sin 150^{\circ} & = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \\ \dfrac{1}{2} & = \dfrac{2}{5} + \cos\alpha \sin\beta \\ \cos\alpha \sin\beta & = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{5} \\ \cos\alpha \sin\beta & = \dfrac{1}{10} \end{align}$
Mencari Nilai $\sin\left(\alpha − \beta\right)$.
Substitusikan nilai $\sin\alpha \cos\beta$ dan $\cos\alpha \sin\beta$ kedalam rumus selisih dua sudut triogonometri di atas.
$\begin{align} \sin \left(\alpha - \beta \right) & = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \\ & = \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{10} \\ & = \dfrac{3}{10} \end{align}$
Jadi, nilai $\sin\left(\alpha − \beta\right)$ adalah $\dfrac{3}{10} $
Jawab : D
Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Trigonometri :
$\sin \left(\alpha + \beta \right) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
$\sin \left(\alpha - \beta \right) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$
$\sin \left(\alpha - \beta \right) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$
Dik :
$\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{2}{5} \\ \left(\alpha + \beta \right) = \dfrac {5\pi}{6} = \dfrac {5 \times 180^{\circ}}{6} = 150^{\circ}$
Perhatikan Rumus di atas !!!
Sebelum kita mencari nilai $\sin\left(\alpha − \beta\right)$, pertama-tama kita harus mencari nilai $\cos\alpha \sin\beta$ terlebih dahulu
.
Mencari Nilai $\cos\alpha \sin\beta$
Gunakan Rumus Jumlah Dua Sudut Trigonometri
$\begin{align} \sin \left(\alpha + \beta \right) & = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \\ \sin 150^{\circ} & = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \\ \dfrac{1}{2} & = \dfrac{2}{5} + \cos\alpha \sin\beta \\ \cos\alpha \sin\beta & = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{5} \\ \cos\alpha \sin\beta & = \dfrac{1}{10} \end{align}$
Mencari Nilai $\sin\left(\alpha − \beta\right)$.
Substitusikan nilai $\sin\alpha \cos\beta$ dan $\cos\alpha \sin\beta$ kedalam rumus selisih dua sudut triogonometri di atas.
$\begin{align} \sin \left(\alpha - \beta \right) & = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \\ & = \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{10} \\ & = \dfrac{3}{10} \end{align}$
Jadi, nilai $\sin\left(\alpha − \beta\right)$ adalah $\dfrac{3}{10} $
Jawab : D
Soal Nomor 28
Nilai dari $\dfrac {\sin280^{\circ} - \sin140^{\circ}}{\cos280^{\circ} - \cos140^{\circ}} = ....$ A. $- \sqrt{3}$
B. $- \sqrt{2}$
C. $- \dfrac{1}{2} \sqrt{3}$
D. $ \sqrt{2}$
E. $ \sqrt{3}$
Pembahasan Soal Nomor 28
Penyelesaian :
Rumus Selisih pada Sinus dan Cosinus
Oke, mari kita selesaikan soal di atas.
$\begin{align} & \quad \dfrac {\sin280^{\circ} - \sin140^{\circ}}{\cos280^{\circ} - \cos140^{\circ}} \\ \\ & = \dfrac {2 \cos \dfrac{1}{2} \left(280^{\circ}+140^{\circ} \right) \; \sin\dfrac{1}{2} \left(280^{\circ}-140^{\circ} \right)}{-2 \sin \dfrac{1}{2} \left(280^{\circ}+140^{\circ} \right) \; \sin\dfrac{1}{2} \left(280^{\circ}-140^{\circ} \right)}\\ \\ & = \dfrac {2 \cos 210^{\circ} \sin 70^{\circ}}{-2 \sin 210^{\circ} \sin 70^{\circ}} \\ \\ & = - \dfrac {\cos 210^{\circ}}{\sin 210^{\circ}} \\ \\ & = - \dfrac {\cos \left(180^{\circ}+30^{\circ}\right)}{\sin \left(180^{\circ}+30^{\circ}\right)} \\ \\ & = - \dfrac {- \cos 30^{\circ}}{- \sin 30^{\circ}} \\ \\ & = - \dfrac {- \dfrac{1}{2} \sqrt{3} }{- \dfrac{1}{2}} \\ \\ & = - \sqrt{3} \end{align}$
Jadi, nilai dari $\dfrac {\sin280^{\circ} - \sin140^{\circ}}{\cos280^{\circ} - \cos140^{\circ}}$ adalah $- \sqrt{3}$
Jawab : A
Rumus Selisih pada Sinus dan Cosinus
$\sin A - \sin B = 2 \cos \dfrac{1}{2} \left(A+B\right) \; \sin\dfrac{1}{2} \left(A-B\right)$
$\cos A - \cos B = -2 \sin \dfrac{1}{2} \left(A+B\right) \; \sin\dfrac{1}{2} \left(A-B\right)$
$\cos A - \cos B = -2 \sin \dfrac{1}{2} \left(A+B\right) \; \sin\dfrac{1}{2} \left(A-B\right)$
Oke, mari kita selesaikan soal di atas.
$\begin{align} & \quad \dfrac {\sin280^{\circ} - \sin140^{\circ}}{\cos280^{\circ} - \cos140^{\circ}} \\ \\ & = \dfrac {2 \cos \dfrac{1}{2} \left(280^{\circ}+140^{\circ} \right) \; \sin\dfrac{1}{2} \left(280^{\circ}-140^{\circ} \right)}{-2 \sin \dfrac{1}{2} \left(280^{\circ}+140^{\circ} \right) \; \sin\dfrac{1}{2} \left(280^{\circ}-140^{\circ} \right)}\\ \\ & = \dfrac {2 \cos 210^{\circ} \sin 70^{\circ}}{-2 \sin 210^{\circ} \sin 70^{\circ}} \\ \\ & = - \dfrac {\cos 210^{\circ}}{\sin 210^{\circ}} \\ \\ & = - \dfrac {\cos \left(180^{\circ}+30^{\circ}\right)}{\sin \left(180^{\circ}+30^{\circ}\right)} \\ \\ & = - \dfrac {- \cos 30^{\circ}}{- \sin 30^{\circ}} \\ \\ & = - \dfrac {- \dfrac{1}{2} \sqrt{3} }{- \dfrac{1}{2}} \\ \\ & = - \sqrt{3} \end{align}$
Jadi, nilai dari $\dfrac {\sin280^{\circ} - \sin140^{\circ}}{\cos280^{\circ} - \cos140^{\circ}}$ adalah $- \sqrt{3}$
Jawab : A
Soal Nomor 29
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya $\text{6 cm}.$ Jika $\alpha$ adalah sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF, nilai $\sin\alpha = .....$A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{1}{3} \sqrt{3}$
C. $\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$
D. $\dfrac{1}{2} \sqrt{3}$
E. $\dfrac{2}{3} \sqrt{2}$
Pembahasan Soal Nomor 29
Penyelesaian :
Perhatikan gambar ilustrasinya di bawah ini :
Berdasarkan gambar di atas maka diperoleh :
Panjang PQ sama dengan panjang sisi kubus sedangkan panjang AQ sama dengan panjang setengah diagonal bidang. Sehingga:
$\begin{align} PQ & = \text{6 cm} \\ AQ & = \dfrac {1}{2} \times \text {diagonal bidang} \\ AQ & = \dfrac {1}{2} \times 6\sqrt{2} \\ AQ & = 3\sqrt{2} \; \text{cm} \end{align}$
Mencari Panjang AP
$\begin{align} AP & = \sqrt{PQ^{2} + AQ^{2}} \\ & = \sqrt{6^{2} + \left(3\sqrt{2}\right)^{2}} \\ & = \sqrt{36 + 18} \\ & = \sqrt{54} \\ & = \sqrt{9 \times 6} \\ & = 3\sqrt{6} \end{align}$
Maka, nilai $\sin\alpha$ adalah
$\begin{align} \sin\alpha & = \dfrac {AQ}{AP} \\ & = \dfrac {3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}} \\ & = \dfrac {\sqrt{1}}{\sqrt{3}} \\ & = \dfrac {1}{3} \sqrt{3} \end{align}$
Jadi, nilai sinus sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF adalah $\dfrac {1}{3} \sqrt{3}$
Jawab : D
Perhatikan gambar ilustrasinya di bawah ini :
Berdasarkan gambar di atas maka diperoleh :
Panjang PQ sama dengan panjang sisi kubus sedangkan panjang AQ sama dengan panjang setengah diagonal bidang. Sehingga:
$\begin{align} PQ & = \text{6 cm} \\ AQ & = \dfrac {1}{2} \times \text {diagonal bidang} \\ AQ & = \dfrac {1}{2} \times 6\sqrt{2} \\ AQ & = 3\sqrt{2} \; \text{cm} \end{align}$
Mencari Panjang AP
$\begin{align} AP & = \sqrt{PQ^{2} + AQ^{2}} \\ & = \sqrt{6^{2} + \left(3\sqrt{2}\right)^{2}} \\ & = \sqrt{36 + 18} \\ & = \sqrt{54} \\ & = \sqrt{9 \times 6} \\ & = 3\sqrt{6} \end{align}$
Maka, nilai $\sin\alpha$ adalah
$\begin{align} \sin\alpha & = \dfrac {AQ}{AP} \\ & = \dfrac {3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}} \\ & = \dfrac {\sqrt{1}}{\sqrt{3}} \\ & = \dfrac {1}{3} \sqrt{3} \end{align}$
Jadi, nilai sinus sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF adalah $\dfrac {1}{3} \sqrt{3}$
Jawab : D
Soal Nomor 30
Diketahui kubus KLMN.OPQR dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik M ke bidang LNQ adalah ........A. $2 \sqrt {2} \; \text{cm}$
B. $2 \sqrt {3} \; \text{cm}$
C. $3 \sqrt {2} \; \text{cm}$
D. $2 \sqrt {3} \; \text{cm}$
E. $4 \sqrt {3} \; \text{cm}$
Pembahasan Soal Nomor 30
Penyelesaian :
Perhatikan gambar ilustrasi dibawah ini :
Jarak titik M ke bidang LNQ adalah garis MS. Ternyata bila garis MS diperpanjang akan tepat melalui titik O, di mana MO adalah diagonal ruang.
$\begin{align} MO & = a \sqrt{3} \\ & = 6\sqrt{3} \; \text{cm} \end{align}$
Perbandingan antara $MS : SO = 1 : 2$, sehingga:
$\begin{align} MS & = \dfrac {1}{3} \times \text{diagonal ruang} \\ & = \dfrac {1}{3} \times MO \\ & = \dfrac {1}{3} \times 6\sqrt{3} \\ & = 2\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, jarak titik M ke bidang LNQ adalah $2 \sqrt {3} \; \text{cm}$
Jawab : B
Perhatikan gambar ilustrasi dibawah ini :
Jarak titik M ke bidang LNQ adalah garis MS. Ternyata bila garis MS diperpanjang akan tepat melalui titik O, di mana MO adalah diagonal ruang.
$\begin{align} MO & = a \sqrt{3} \\ & = 6\sqrt{3} \; \text{cm} \end{align}$
Perbandingan antara $MS : SO = 1 : 2$, sehingga:
$\begin{align} MS & = \dfrac {1}{3} \times \text{diagonal ruang} \\ & = \dfrac {1}{3} \times MO \\ & = \dfrac {1}{3} \times 6\sqrt{3} \\ & = 2\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, jarak titik M ke bidang LNQ adalah $2 \sqrt {3} \; \text{cm}$
Jawab : B
Demikianlah pembahasan soal UN Matematika SMA IPA 2017 part.6 No. 26 - 30 dan jangan lupa kunjungi artikel menarik lainnya di blog ini.
NEXT :
Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.7 No. 31 - 35
Terima kasih telah berkunjung dan meluangkan waktunya untuk membaca artikel sederhana ini yang berjudul "Pembahasan Soal UN Matematika SMA No. 26 - 30". Semoga informasi yang terkandung dalam tulisan ini dapat bermanfaat bagi anda yang membutuhkannya.
Salam sukses untuk kita semua....!!!
Note : Silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.
PERHATIAN !!!
Terima Kasih Telah Berkunjung ke Blog Caraono.com
1. Berkomentarlah dengan Baik dan Sopan
2. No Link Aktif
3. Mohon Maaf apabila ada pertanyaan anda yang belum atau tidak bisa dijawab karena saya manusia biasa bukan Google
Thanks for visiting and the comment :)
EmoticonEmoticon