Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part. 4

Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 No. 16 - 20_Hallo, Sobat Pejuang UN. Kali ini saya akan membahas Soal UN Matematika SMA IPA tahun 2017 part 4. Pada edisi kali ini soal-soalnya berisikan materi tentang :

1. Pertumbuhan dan Peluruhan
2. Barisan dan Deret Geometri
3. Barisan dan Deret Aritmetika
4. Limit Fungsi Aljabar_Limit 𝒳 Mendekati Tak Hingga
5. Limit Fungsi Aljabar

Nah, bagi sobat pejuang UN yang ingin mengetahui pembahasan sebelumnya silahkan sobat klik pada tautan di bawah ini :
1. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.1 No. 1 - 5
2. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.2 No. 6 - 10
3. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.3 No. 11-15

Soal Nomor 16

Sebuah unsur radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 30 menit. Jika pada mulanya massa unsur tersebut 20 gram, massa unsur yang meluruh selama 2 jam adalah adalah .........
A. 1,25 gram
B. 2,50 gram
C. 10,00 gram
D. 17,50 gram
E. 18,75 gram

Pembahasan Soal Nomor 16

Penyelesaian :
Peluruhan adalah berkurangnya suatu nilai dengan faktor pembagi yang tetap dalam setiap periode. Peluruhan dirumuskan sebagai:
$\bbox[yellow,5px,border:1px solid red] {L_{n} = L_{0} (1 − r)^{n} \qquad (1)}$
Dengan :
$L_{n}$ : sisa setelah meluruh n periode
$L_{0}$ : awal peluruhan
$r$ : faktor pembagi
$n$ : periode peluruhan

Diketahui :
$L_{0}$ = 20 gram
$r = 1/2$

Peluruhan terjadi setiap 30 menit, berarti selama 2 jam (120 menit) periode peluruhannya adalah:
$n = \dfrac {120}{30} = 4$

Sisa unsur radioaktif tersebut setelah meluruh 2 jam adalah:
$\begin {align} L_{n}& = L_{0} \left (1 − r \right)^{n} \\ & = 20 \left (1 − \frac{1}{2} \right)^{4} \\ & = 20 \times \left (\frac {1}{2} \right)^{4} \\ & = 20 \times \frac {1}{16} \\ & = 1,25 \end {align}$


Dengan demikian, massa unsur yang meluruh adalah:
$\begin {align} L_{0} − L_{n} & = 20 − 1,25 \\ & = 18,75 \end {align}$

Jadi, massa unsur yang meluruh selama 2 jam adalah $\text {18,75 gram}$.

Jawab : E

Soal Nomor 17

Suku kedua dan kelima suatu barisan geometri adalah 3 dan 81. Jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah .........
A. $3^{n+1} − 3$
B. $3^{n+1} − 1$
C. $2.3^{n} − 1$
D. $\dfrac {1}{2} \left(3^{n} − 1 \right)$
E. $\dfrac {1}{3} \left(3^{n} − 1 \right)$

Pembahasan Soal Nomor 17

Penyelesaian :
Diketahui:
$\begin {align} U_{2} & = 3 \\ U_{5} & = 81 \end {align}$

Mencari Rasio
$\begin{align} U_{5} & = U_{2} \times r^{5-2} \\ 81 & = 3.r^{3}\\ \dfrac{81}{3} & = r^{3} \\ 27 & = r^{3} \\ r & = \sqrt[3]{27}\\ r & = 3 \end {align}$

Mencari suku pertama
$\begin {align} U_{2}& = a.r \\ 3 & = a.3 \\ a & = 1 \end {align}$

Jumlah n suku pertama deret geometri dengan rasio lebih dari 1 $(r > 1)$ dirumuskan sebagai berikut:
$\bbox[yellow,5px,border:1px solid red] {S_{n} = \dfrac {a \left(r^{n} - 1\right)}{r-1} \qquad (1)} \\ \\ \begin {align} S_{n} & = \dfrac {1 \left(3^{n} - 1\right)}{3-1} \\ & = \dfrac {1}{2} \left(3^{n} - 1\right)\\ \end {align}$


Jadi, jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah $\dfrac {1}{2} \left(3^{n} - 1\right)$


Jawab : D

Soal Nomor 18

Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan masing-masing potongan membentuk deret aritmetika. Bila potongan tali terpendek adalah $6\; \mathrm{cm}$ dan yang terpanjang $384\; \mathrm{cm}$, panjang tali semula adalah .......
A. $1.375\; \mathrm{cm}$
B. $1.365\; \mathrm{cm}$
C. $1.265\; \mathrm{cm}$
D. $1.245\; \mathrm{cm}$
E. $762\; \mathrm{cm}$

Pembahasan Soal Nomor 18

Penyelesaian :
Diketahui :
$\begin {align} n & = 7 \\ a & = 6 \; \text{cm} \\ U_{7} & = 384\; \mathrm{cm} \end {align}$


Panjang tali semula adalah panjang tali sebelum dipotong menjadi 7 atau sama dengan jumlah ke-7 potongan tersebut
$\begin {align} S_{n}& = \dfrac {n}{2}\left(a+U_{n}\right) \\ S_{7}& = \dfrac {7}{2}\left(6+U_{7}\right) \\ & = \dfrac {7}{2}\left(6+384\right) \\ & = \dfrac {7}{2}\left(390\right) \\ & = 1365 \end {align}$


Jadi, panjang tali semula adalah $1.365\; \mathrm{cm}$


Jawab : B

Soal Nomor 19

Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^{2} + 4x - 3} -2x + 3\right)$ adalah ........
A. $-4$
B. $-2$
C. $0$
D. $2$
E. $4$

Pembahasan Soal Nomor 19

Rumus yang digunakan :
Rumus Alternatif Limit $x$ Mendekati Tak Hingga

Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan tipe soal limit seperti di atas, yang harus kita lakukan adalah merubah atau memodifikasi bentuk soal di atas menjadi sedemikian rupa sehingga menjadi bentuk soal limit pada rumus di atas.

Cara untuk mengubahnya pun cukup sederhana, silahkan anda gunakan prinsip dasar di bawah ini :

$ \bbox[yellow,5px,border:1px solid red] { a = \sqrt {a^{2}} \qquad (1) } $

Sekarang, mari kita selesaikan soal di atas dengan menggunakan prinsip dasar tersebut
$\begin {align} & \quad \lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^{2} + 4x - 3} -2x + 3\right)\\ \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^{2} + 4x - 3} - \left (2x - 3\right) \right) \\ \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{4x^{2}+4x-3}\right ) - \left (\sqrt{\left (2x-3\right)^{2}}\right) \\ \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{{\color{blue}{4}}x^{2}{\color{red}{+4}}x-3} - \sqrt{4x^{2}{\color{red}{-12}}x+9} \right)\\ \\ & = \dfrac {{\color{red}{b-q}}}{2 \sqrt{{\color{blue}{a}}}} \\ \\ & = \dfrac {{\color{red}{4-\left(-12\right)}}}{2 \sqrt{{\color{blue}{4}}}} \\ \\ & = \dfrac {16}{4} \\ \\ & = 4 \end {align}$


Jadi, nilai dari limit fungsi tersebut adalah $4$


Jawab : E

Soal Nomor 20

Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 2 } \dfrac {2 - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6x + 8}$ adalah ........

A. $- \dfrac {1}{2}$

B. $- \dfrac {1}{8}$

C. $ \dfrac {1}{8}$

D. $\dfrac {1}{4}$

E. $\dfrac {1}{2}$

Pembahasan Soal Nomor 20

Penyelesaian :
Jika ada soal limit fungsi aljabar yang berbentuk pecahan akar atau irrasional maka cara untuk menyelesaikan soal tersebut adalah dengan mengalikan bilangan sekawannya.

CARA 1 (Cara Biasa)
$\begin {align} &\quad \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {2 - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6x + 8} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {2 - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6x + 8} \times \dfrac {2 + \sqrt{x + 2}}{2 + \sqrt{x + 2}} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {4 - x - 2}{x^{2} - 6x + 8 \left(2 + \sqrt{x + 2}\right)} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {- x + 2}{x^{2} - 6x + 8 \left(2 + \sqrt{x + 2}\right)} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {-1 {\color{red}{\left(x - 2\right)}}}{{\color{red}{\left(x-2\right)}} \left(x-4\right) \left(2 + \sqrt{x + 2}\right)} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } - \dfrac {1}{\left(x-4\right) \left(2 + \sqrt{x + 2}\right)} \\ \\ & = - \dfrac {1}{\left(2-4\right) \left(2 + \sqrt{2 + 2}\right)} \\ \\ & = - \dfrac {1}{\left(-2\right) \left(4 \right)} \\ \\ & = \dfrac {1}{8} \end {align}$


Cara 2 (Menggunakan Turunan)
$\begin {align} &\quad \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {2 - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6x + 8} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {2 - \left(x + 2\right)^{1/2}}{x^{2} - 6x + 8} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {-\dfrac {1}{2} \left(x + 2\right)^{-1/2}}{2x-6} \\ \\ & = \dfrac {-\dfrac {1}{2} \left(2 + 2\right)^{-1/2}}{2.2-6} \\ \\ & = \dfrac {-\dfrac {1}{2}\left(4\right)^{-1/2} }{-2} \\ \\ & = \dfrac {-\dfrac {1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{4}}\right)}{-2} \\ & = - \dfrac {1}{4} \times - \dfrac {1}{2} \\ & = \dfrac {1}{8} \end {align}$


Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah $\dfrac {1}{8}$


Jawab : C

Demikianlah pembahasan soal UN Matematika SMA IPA  2017 part.4 No. 16 - 20 dan jangan lupa kunjungi artikel menarik lainnya di blog ini.

NEXT :
Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.5 No. 21 - 25

Terima kasih telah berkunjung dan meluangkan waktunya untuk membaca artikel sederhana ini yang berjudul "Pembahasan Soal UN Matematika SMA  No. 16 - 20". Semoga informasi yang terkandung dalam tulisan ini dapat bermanfaat bagi anda yang membutuhkannya.


Salam sukses untuk kita semua....!!!


Note : Silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.