Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part. 6

Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 No. 26 - 30_Hallo, Sobat Pejuang UN. Kali ini saya akan membahas Soal UN Matematika SMA IPA tahun 2017 part 6. Pada edisi kali ini soal-soalnya berisikan materi tentang :

1. Persamaan Trigonometri
2. Mencari Nilai Jumlah dan Selisih Dua Sudut Trigonometri
3. Mencari Nilai Jumlah dan Selisih pada Sinus dan Cosinus
4. Sudut Antara Garis dan Bidang Dalam Dimensi Tiga
5. Jarak Antara Titik, Garis, dan Bidang Dalam Dimensi Tiga.

Nah, bagi sobat pejuang UN yang ingin mengetahui pembahasan sebelumnya silahkan sobat klik pada tautan di bawah ini :
1. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.1 No. 1 - 5
2. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.2 No. 6 - 10
3. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.3 No. 11-15
4. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.4 No. 16-20
5. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.5 No. 21-25

Soal Nomor 26

Himpunan penyelesaian persamaan $\cos⁡2x − \sin⁡x = 0,$ untuk $0 \leq x \leq 2\pi$ adalah .........
A. $\dfrac {\pi}{6},\dfrac {5\pi}{6}, \pi $

B. $\dfrac {\pi}{6},\dfrac {5\pi}{6}, \dfrac {3\pi}{2} $

C. $\dfrac {\pi}{3},\dfrac {2\pi}{3}, \dfrac {3\pi}{2} $

D. $\dfrac {\pi}{3},\dfrac {4\pi}{3}, \dfrac {3\pi}{2} $

E. $\dfrac {7\pi}{6},\dfrac {3\pi}{2}, \dfrac {11\pi}{6} $

Pembahasan Soal Nomor 26

Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan soal persamaan trigonometri di atas, yang harus kita lakukan adalah mengubah bentuk soal persamaan trigonometrinya menjadi sejenis.

Dalam hal ini, kita mengubah cosinus $\left(\cos2x \right)$ menjadi sinus dengan menggunakan rumus trigonometri sudut ganda atau rangkap di bawah ini.

Rumus Trigonometri Sudut Ganda atau Rangkap
$ \cos 2\alpha = \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha \\ \cos 2\alpha = 2 \cos^{2} \alpha - 1 \\ \bbox[yellow,5px] {\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^{2} \alpha}$

Oke, mari kita selesaikan soal di atas.
$\begin{align} \cos⁡2x − \sin⁡x & = 0 \\ 1 - 2 \sin^{2} x - \sin⁡x & = 0 \\ - 2 \sin^{2} x - \sin⁡x + 1 & = 0 \\ 2 \sin^{2} x + \sin⁡x - 1 & = 0 \\ \left(2 \sin⁡x − 1\right) \left(\sin⁡ x + 1\right) & = 0 \\ \sin x = \dfrac {1}{2} \quad \text{atau} \quad \sin x & = -1 \end{align}$

Untuk $\sin x = \dfrac {1}{2}$ (positif), nilai $x$ nya berada pada kuadran I dan II.
$\begin {align} \sin x & = \dfrac {1}{2} \\ & = \sin 30^{\circ} \end {align}$

Kuadran I (satu)
$\begin {align} x & = 30^{\circ} \\ & = \dfrac {\pi}{6} \end {align}$

Kuadran II (dua)
$\begin {align} x & = 180^{\circ} - 30^{\circ} \\ & = 150^{\circ} \\ & = \dfrac {5\pi}{6} \end {align}$

Sedangkan untuk $\sin⁡ x = −1$ hanya mempunyai satu nilai pada interval $0 \leq x \leq 2\pi$.
$\begin {align} \sin x & = -1 \\ x & = 270^{\circ} \\ & = \dfrac {3\pi}{2} \end {align}$


Maka, himpunan penyelesaiannya adalah $\dfrac {\pi}{6},\dfrac {5\pi}{6}, \dfrac {3\pi}{2}$


Jawab : B

Soal Nomor 27

Diketahui $\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{2}{5}$ dan $\left(\alpha + \beta \right) = \dfrac {5\pi}{6}.$ Nilai $\sin⁡\left(\alpha − \beta\right) =.... $
A. $- \dfrac {1}{2}$

B. $- \dfrac {3}{10}$

C. $- \dfrac {1}{10}$

D. $ \dfrac {3}{10}$

E. $ \dfrac {1}{2}$

Pembahasan Soal Nomor 27

Penyelesaian :
Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Trigonometri :

$\sin \left(\alpha + \beta \right) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
$\sin \left(\alpha - \beta \right) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Dik :
$\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{2}{5} \\ \left(\alpha + \beta \right) = \dfrac {5\pi}{6} = \dfrac {5 \times 180^{\circ}}{6} = 150^{\circ}$


Perhatikan Rumus di atas !!!
Sebelum kita mencari nilai $\sin⁡\left(\alpha − \beta\right)$, pertama-tama kita harus mencari nilai $\cos\alpha \sin\beta$ terlebih dahulu
.
Mencari Nilai $\cos\alpha \sin\beta$
Gunakan Rumus Jumlah Dua Sudut Trigonometri
$\begin{align} \sin \left(\alpha + \beta \right) & = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \\ \sin 150^{\circ} & = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \\ \dfrac{1}{2} & = \dfrac{2}{5} + \cos\alpha \sin\beta \\ \cos\alpha \sin\beta & = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{5} \\ \cos\alpha \sin\beta & = \dfrac{1}{10} \end{align}$

Mencari Nilai $\sin⁡\left(\alpha − \beta\right)$.
Substitusikan nilai $\sin\alpha \cos\beta$ dan $\cos\alpha \sin\beta$ kedalam rumus selisih dua sudut triogonometri di atas.

$\begin{align} \sin \left(\alpha - \beta \right) & = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \\ & = \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{10} \\ & = \dfrac{3}{10} \end{align}$


Jadi, nilai $\sin⁡\left(\alpha − \beta\right)$ adalah $\dfrac{3}{10} $


Jawab : D

Soal Nomor 28

Nilai dari $\dfrac {\sin280^{\circ} - \sin140^{\circ}}{\cos280^{\circ} - \cos140^{\circ}} = ....$
A. $- \sqrt{3}$

B. $- \sqrt{2}$

C. $- \dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

D. $ \sqrt{2}$

E. $ \sqrt{3}$

Pembahasan Soal Nomor 28

Penyelesaian :
Rumus Selisih pada Sinus dan Cosinus

$\sin A - \sin B = 2 \cos \dfrac{1}{2} \left(A+B\right) \; \sin\dfrac{1}{2} \left(A-B\right)$

$\cos A - \cos B = -2 \sin \dfrac{1}{2} \left(A+B\right) \; \sin\dfrac{1}{2} \left(A-B\right)$

Oke, mari kita selesaikan soal di atas.

$\begin{align} & \quad \dfrac {\sin280^{\circ} - \sin140^{\circ}}{\cos280^{\circ} - \cos140^{\circ}} \\ \\ & = \dfrac {2 \cos \dfrac{1}{2} \left(280^{\circ}+140^{\circ} \right) \; \sin\dfrac{1}{2} \left(280^{\circ}-140^{\circ} \right)}{-2 \sin \dfrac{1}{2} \left(280^{\circ}+140^{\circ} \right) \; \sin\dfrac{1}{2} \left(280^{\circ}-140^{\circ} \right)}\\ \\ & = \dfrac {2 \cos 210^{\circ} \sin 70^{\circ}}{-2 \sin 210^{\circ} \sin 70^{\circ}} \\ \\ & = - \dfrac {\cos 210^{\circ}}{\sin 210^{\circ}} \\ \\ & = - \dfrac {\cos \left(180^{\circ}+30^{\circ}\right)}{\sin \left(180^{\circ}+30^{\circ}\right)} \\ \\ & = - \dfrac {- \cos 30^{\circ}}{- \sin 30^{\circ}} \\ \\ & = - \dfrac {- \dfrac{1}{2} \sqrt{3} }{- \dfrac{1}{2}} \\ \\ & = - \sqrt{3} \end{align}$


Jadi, nilai dari $\dfrac {\sin280^{\circ} - \sin140^{\circ}}{\cos280^{\circ} - \cos140^{\circ}}$ adalah $- \sqrt{3}$


Jawab : A

Soal Nomor 29

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya $\text{6 cm}.$ Jika $\alpha$ adalah sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF, nilai $\sin\alpha = .....$
A. $\dfrac{1}{2}$

B. $\dfrac{1}{3} \sqrt{3}$

C. $\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

D. $\dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

E. $\dfrac{2}{3} \sqrt{2}$

Pembahasan Soal Nomor 29

Penyelesaian :
Perhatikan gambar ilustrasinya di bawah ini :


Berdasarkan gambar di atas maka diperoleh :
Panjang PQ sama dengan panjang sisi kubus sedangkan panjang AQ sama dengan panjang setengah diagonal bidang. Sehingga:

$\begin{align} PQ & = \text{6 cm} \\ AQ & = \dfrac {1}{2} \times \text {diagonal bidang} \\ AQ & = \dfrac {1}{2} \times 6\sqrt{2} \\ AQ & = 3\sqrt{2} \; \text{cm} \end{align}$

Mencari Panjang AP
$\begin{align} AP & = \sqrt{PQ^{2} + AQ^{2}} \\ & = \sqrt{6^{2} + \left(3\sqrt{2}\right)^{2}} \\ & = \sqrt{36 + 18} \\ & = \sqrt{54} \\ & = \sqrt{9 \times 6} \\ & = 3\sqrt{6} \end{align}$

Maka, nilai $\sin\alpha$ adalah
$\begin{align} \sin\alpha & = \dfrac {AQ}{AP} \\ & = \dfrac {3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}} \\ & = \dfrac {\sqrt{1}}{\sqrt{3}} \\ & = \dfrac {1}{3} \sqrt{3} \end{align}$


Jadi, nilai sinus sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF adalah $\dfrac {1}{3} \sqrt{3}$


Jawab : D

Soal Nomor 30

Diketahui kubus KLMN.OPQR dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik M ke bidang LNQ adalah ........
A. $2 \sqrt {2} \; \text{cm}$
B. $2 \sqrt {3} \; \text{cm}$
C. $3 \sqrt {2} \; \text{cm}$
D. $2 \sqrt {3} \; \text{cm}$
E. $4 \sqrt {3} \; \text{cm}$

Pembahasan Soal Nomor 30

Penyelesaian :
Perhatikan gambar ilustrasi dibawah ini :


Jarak titik M ke bidang LNQ adalah garis MS. Ternyata bila garis MS diperpanjang akan tepat melalui titik O, di mana MO adalah diagonal ruang.

$\begin{align} MO & = a \sqrt{3} \\ & = 6\sqrt{3} \; \text{cm} \end{align}$

Perbandingan antara $MS : SO = 1 : 2$, sehingga:

$\begin{align} MS & = \dfrac {1}{3} \times \text{diagonal ruang} \\ & = \dfrac {1}{3} \times MO \\ & = \dfrac {1}{3} \times 6\sqrt{3} \\ & = 2\sqrt{3} \end{align}$



Jadi, jarak titik M ke bidang LNQ adalah $2 \sqrt {3} \; \text{cm}$



Jawab : B

Demikianlah pembahasan soal UN Matematika SMA IPA  2017 part.6 No. 26 - 30 dan jangan lupa kunjungi artikel menarik lainnya di blog ini.

NEXT :
Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.7 No. 31 - 35

Terima kasih telah berkunjung dan meluangkan waktunya untuk membaca artikel sederhana ini yang berjudul "Pembahasan Soal UN Matematika SMA  No. 26 - 30". Semoga informasi yang terkandung dalam tulisan ini dapat bermanfaat bagi anda yang membutuhkannya.


Salam sukses untuk kita semua....!!!


Note : Silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part. 5

Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 No. 21 - 25_Hallo, Sobat Pejuang UN. Kali ini saya akan membahas Soal UN Matematika SMA IPA tahun 2017 part 5. Pada edisi kali ini soal-soalnya berisikan materi tentang :

1. Aplikasi Turunan (Gradien Garis Singgung)
2. Aplikasi Turunan (Nilai Maksimum)
3. Integral Metode Substitusi
4. Integral Tentu
5. Aturan Sinus dan Cosinus Trigonometri

Nah, bagi sobat pejuang UN yang ingin mengetahui pembahasan sebelumnya silahkan sobat klik pada tautan di bawah ini :
1. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.1 No. 1 - 5
2. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.2 No. 6 - 10
3. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.3 No. 11-15
4. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.4 No. 16-20

Soal Nomor 21

Diketahui grafik fungsi $y = 2x^{2} − 3x + 7$ berpotongan dengan garis $y = 4x + 1$. Salah satu persamaan garis singgung yang melalui titik potong kurva dan garis tersebut adalah .........
A. $y=5x+7$
B. $y=5x-1$
C. $y=x+5$
D. $y=3x-7$
E. $y=3x+5$

Pembahasan Soal Nomor 21

Penyelesaian :
Mencari Titik potong Grafik fungsi kurva dengan garis
$\begin{align} y_{\text{kurva}} & = y_{\text{garis}} \\ 2x^{2} − 3x + 7 & = 4x + 1 \\ 2x^{2} − 7x + 6 & = 0 \\ \left(2x-3\right)\left(x-2\right) & = 0 \end {align} \\ x_{1} = \dfrac {3}{2} \quad \text{atau} \quad x_{2} = 2 $

Selanjutnya, nilai absis $x_{1}$ dan $x_{1}$, kita substitusikan ke ke fungsi kurva atau garis untuk mendapatkan nilai ordinatnya. Agar lebih mudah kita pilih substitusikan ke fungsi garis saja.

$y = 4x + 1$
$x_{1} = \dfrac {3}{2} \; \Longrightarrow y = 4\left(\dfrac {3}{2}\right) + 1 = 7 \\ x_{2} = 2 \; \Longrightarrow y = 4\left(2\right) + 1 = 9$

Sehingga, diperoleh titik potong kurva dan garis tersebut adalah:
$\left(\frac {3}{2}, 7\right)$ dan $\left(2,9\right)$


Selanjutnya kita tentukan gradien garis singgung. Gradien merupakan turunan dari fungsi kurva $y = 2x^{2} − 3x + 7$
$m = y^{1} = \frac{dy}{dx} \\ m = 4x - 3$


Gradien garis singgung titik $\left(\frac {3}{2}, 7\right)$ adalah
$x_{1} = \dfrac {3}{2} \; \Longrightarrow m_{1} = 4\left(\dfrac {3}{2}\right) - 3 = 3$

Gradien garis singgung titik $\left(2, 9\right)$ adalah
$x_{2} = 2 \; \Longrightarrow m_{2} = 4\left(2\right) - 3 = 5$

Persamaan garis singgung titik $\left(\frac {3}{2}, 7\right)$ adalah
$\begin{align} y - y_{1} & = m_{1} \left(x - x_{1}\right) \\ y - 7 & = 3 \left(x - \dfrac {3}{2}\right) \\ y - 7 & = 3x - \dfrac {9}{2} \\ y & = 3x + \dfrac {5}{2} \end{align}$


Persamaan garis singgung titik $\left(2, 9\right)$ adalah
$\begin{align} y - y_{2} & = m_{2} \left(x - x_{2}\right) \\ y - 9 & = 5 \left(x - 2\right) \\ y - 9 & = 5x - 10 \\ y & = 5x - 1 \end{align}$


Jadi, salah satu persamaan garis singgung tersebut sesuai pada opsi jawaban adalah $y = 5x - 1$


Jawab : B

Soal Nomor 22

Sebuah akuarium tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebarnya 2 : 3. Jika luas permukaan akuarium adalah $1.800 \; \text{cm}^{2}$, volume maksimum akuarium tersebut adalah .........
A. $\text {3.600 cm}^{3}$
B. $\text {5.400 cm}^{3}$
C. $\text {6.300 cm}^{3}$
D. $\text {7.200 cm}^{3}$
E. $\text {8.100 cm}^{3}$

Pembahasan Soal Nomor 22

Penyelesaian :
Rumus Luas permukaan balok

$\text{L}_{p} = 2\left(pl + pt + lt\right)$

Rumus Luas permukaan balok Tanpa Tutup

$\text{L}_{p} = pl + 2pt + 2lt$

Diketahui :
$\begin{align} \text{L}_{p} & = 1.800 \; \text{cm}^{2} \\ \frac {p} {l} & = \frac{3}{2} \rightarrow p = \frac{3}{2}l \end{align}$


Mencari tinggi akuarium
$\begin{align} \text{L}_{p} & = pl + 2pt + 2lt \\ 1.800 & = \frac{3}{2}l.l + 2.\frac{3}{2}l.t. + 2lt \\ 1.800 & = \frac{3}{2}l^{2} + 3lt + 2lt \\ 1.800 & = \frac{3}{2}l^{2} + 5lt \\ 1.800 - \frac{3}{2}l^{2} & = 5lt \\ t & = \dfrac {1.800 - \frac{3}{2}l^{2}}{5l}\\ t & = \dfrac {360}{l} - \dfrac {3}{10}l \end {align}$


Mencari volume akuarium
$\begin {align} \text{V}\left(l\right) & = p \times l \times t \\ & = \frac{3}{2}l \times l \times \left(\dfrac {360}{l} - \dfrac {3}{10}l \right) \\ & = \frac{3}{2}l^{2}\times \left(\dfrac {360}{l} - \dfrac {3}{10}l \right) \\ & = 540l - \dfrac {9}{20}l^{3} \end {align}$

Volume akan maksimum bila turunan fungsi volume sama dengan nol
$\begin {align} V\left(l\right) & = 0 \\ 540l - \dfrac {9}{20}l^{3} & = 0 \\ 540 - \dfrac {27}{20}l^{2} & = 0 \\ 540 & = \dfrac {27}{20}l^{2} \\ l^{2} & = 540 \times \dfrac {20}{27} \\ l^{2} & = 400 \\ l & = 20 \end {align}$

Dengan demikian, volume akuarium akan maksimum bila lebarnya 20 cm
$\begin {align} V\left(l\right) & = 540l - \dfrac {9}{20}l^{3} \\ V\left(20\right) & = 540l - \dfrac {9}{20}l^{3} \\ & = 540 \left(20\right) - \dfrac {9}{20}.\left(20\right)^{3} \\ & = 10800 - \dfrac {9}{20}.8000 \\ & = 10800 - 3600 \\ & = \text {7.200 cm}^{3} \end {align}$


Jadi, volume maksimum akuarium tersebut adalah $\text {7.200 cm}^{3}$


Jawab : D

Soal Nomor 23

Hasil dari $\displaystyle \int \dfrac {x^{2}}{\sqrt{x^{3}+2}}dx$ adalah .......

A. $\dfrac {4}{3} \sqrt{x^{3}+2} + C $

B. $- \dfrac {4}{3} \sqrt{x^{3}+2} + C $

C. $\dfrac {2}{3} \sqrt{x^{3}+2} + C $

D. $- \dfrac {2}{3} \sqrt{x^{3}+2} + C $

E. $\sqrt{x^{3}+2} + C $

Pembahasan Soal Nomor 23

Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan soal integral di atas tidak bisa diselesaikan dengan cara biasa atau cara langsung dengan menggunakan rumus dasar integral . Sebab, Tipe soal integral di atas merupakan tipe soal integral subtitusi (soal integral yang diselesaikan dengan metode subtitusi).

Cara untuk membedakan tipe soal integral yang bisa diselesaikan dengan metode substitusi adalah Anda cukup menurunkan salah satu bagian (integran) dari soal tersebut. Jika turunannya ada hubungannya dengan bagian yang lain maka pakai integral substitusi. Namun, jika turunannya tidak ada hubungannya dengan bagian yang lain (biasanya ada x yang belum bisa diubah dalam u) maka pakai integral Parsial.

Langkah-langkah teknik pengintegralan metode substitusi :

1. Misalkan salah satu fungsi sebagai u.
2. Turunkan fungsi u terhadap x 
3. Bentuk hubungan keduanya (a dx = n du)
4. Substitusi fungsi pemisalan ke bentuk integral awal
5. Setelah diintegralkan, kembalikan fungsi pemisalan ke bentuk awalnya.

Oke, langsung saja kita selesaikan soal integral di atas.
Misalkan :
$\begin {align} u & = x^{3} + 2 \\ \dfrac {du}{dx}& = 3x^{2} \\ 3x^{2} \; dx & = du \\ 3\left(x^{2}\right)\; dx & = du \\ x^{2}\; dx & = \dfrac{1}{3} du \\ \end {align}$

Permisalan di atas, kita subtitusikan kedalam soal
$\begin {align} & \quad \displaystyle \int \dfrac {x^{2}}{\sqrt{x^{3}+2}}dx \\ \\ & =\displaystyle \int \dfrac {\frac{1}{3} du}{\sqrt{u}} \\ \\ & = \displaystyle \int \dfrac{1}{3}.u^{-{1/2}}.du \\ \\ & = \dfrac {\frac{1}{3}}{-\frac{1}{2}+1} . u^{{1/2}} + C \\ \\ & = \dfrac {2}{3}. u^{{1/2}} + C \\ \\ & = \dfrac {2}{3}\left(x^{3} + 2\right)^{{1/2}} + C \\ \\ & = \dfrac {2}{3} \sqrt{x^{3}+2} + C \end {align}$


Jadi, hasil dari integral substitusi tersebut adalah $\dfrac {2}{3} \sqrt{x^{3}+2} + C$



Jawab : C

Soal Nomor 24

Nilai $\displaystyle \int_{1}^{3} \left(6x^{2}-6x-6\right)dx$ adalah ........

A. $16$
B. $20$
C. $22$
D. $32$
E. $38$

Pembahasan Soal Nomor 24

Penyelesaian :
Rumus yang digunakan

$\displaystyle \int_{a}^{b}f\left(x\right) dx = \left [F\left(x\right)\right]_{a}^{b} = F\left(b\right) - F\left(a\right)$

$\begin{align} & \quad \displaystyle \int_{1}^{3} \left(6x^{2}-6x-6\right)dx \\ & = \left [2x^{3} - 3x^{2} - 6x \right]_{1}^{3} \\ & = \left [2 \left(3\right)^{3} - 3\left(3\right)^{2} - 6\left(3\right) \right] - \left [2 \left(1\right)^{3} - 3\left(1\right)^{2} - 6\left(1\right) \right] \\ & = \left(54 - 27 - 18\right) -\left(2 - 3 - 6\right) \\ & = 9 + 7 \\ & = 16 \end{align}$


Jadi, nilai dari integral tentu di atas adalah $16$


Jawab : A

Soal Nomor 25

Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tiga angka $080^{\circ}$ sejauh $\text{60 km}$. Kemudian berlayar menuju ke pelabuhan C dengan jurusan $200^{\circ}$ sejauh $\text{80 km}$. Jarak antara pelabuhan C dan A adalah ........

A. $10 \text{km}$
B. $5 \sqrt{13} \text{km}$
C. $10 \sqrt{13} \text{km}$
D. $20 \sqrt{13} \text{km}$
E. $100 \text{km}$

Pembahasan Soal Nomor 25

Penyelesaian :
Perhatikan Rute perjalanan kapal berikut ini:

Berdasarkan gambar di atas, jarak A dan C adalah
Menggunakan Aturan Cosinus
$\begin{align} \text{AC}^{2} & = \text{AB}^{2} + \text{BC}^{2} - 2.\text{AB}.\text{BC}. \cos \beta \\ & = 60^{2} + 80^{2} - 2.60.80.\cos 60^{\circ} \\ & = 3600 + 6400 - 2.60.80.\dfrac {1}{2} \\ & = 10000 - 4800 \\ & = 5200 \\ \text{AC} & = \sqrt {5200} \\ & = \sqrt {400 \times 13} \\ & = 20 \sqrt {13} \end {align}$


Jadi, jarak antara pelabuhan C dan A adalah $20 \sqrt{13} \; \text{km}$


Jawab : D

Demikianlah pembahasan soal UN Matematika SMA IPA  2017 part.5 No. 21 - 25 dan jangan lupa kunjungi artikel menarik lainnya di blog ini.

NEXT :
Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.6 No. 26 - 30

Terima kasih telah berkunjung dan meluangkan waktunya untuk membaca artikel sederhana ini yang berjudul "Pembahasan Soal UN Matematika SMA  No. 21 - 25". Semoga informasi yang terkandung dalam tulisan ini dapat bermanfaat bagi anda yang membutuhkannya.


Salam sukses untuk kita semua....!!!


Note : Silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part. 4

Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 No. 16 - 20_Hallo, Sobat Pejuang UN. Kali ini saya akan membahas Soal UN Matematika SMA IPA tahun 2017 part 4. Pada edisi kali ini soal-soalnya berisikan materi tentang :

1. Pertumbuhan dan Peluruhan
2. Barisan dan Deret Geometri
3. Barisan dan Deret Aritmetika
4. Limit Fungsi Aljabar_Limit 𝒳 Mendekati Tak Hingga
5. Limit Fungsi Aljabar

Nah, bagi sobat pejuang UN yang ingin mengetahui pembahasan sebelumnya silahkan sobat klik pada tautan di bawah ini :
1. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.1 No. 1 - 5
2. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.2 No. 6 - 10
3. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.3 No. 11-15

Soal Nomor 16

Sebuah unsur radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 30 menit. Jika pada mulanya massa unsur tersebut 20 gram, massa unsur yang meluruh selama 2 jam adalah adalah .........
A. 1,25 gram
B. 2,50 gram
C. 10,00 gram
D. 17,50 gram
E. 18,75 gram

Pembahasan Soal Nomor 16

Penyelesaian :
Peluruhan adalah berkurangnya suatu nilai dengan faktor pembagi yang tetap dalam setiap periode. Peluruhan dirumuskan sebagai:
$\bbox[yellow,5px,border:1px solid red] {L_{n} = L_{0} (1 − r)^{n} \qquad (1)}$
Dengan :
$L_{n}$ : sisa setelah meluruh n periode
$L_{0}$ : awal peluruhan
$r$ : faktor pembagi
$n$ : periode peluruhan

Diketahui :
$L_{0}$ = 20 gram
$r = 1/2$

Peluruhan terjadi setiap 30 menit, berarti selama 2 jam (120 menit) periode peluruhannya adalah:
$n = \dfrac {120}{30} = 4$

Sisa unsur radioaktif tersebut setelah meluruh 2 jam adalah:
$\begin {align} L_{n}& = L_{0} \left (1 − r \right)^{n} \\ & = 20 \left (1 − \frac{1}{2} \right)^{4} \\ & = 20 \times \left (\frac {1}{2} \right)^{4} \\ & = 20 \times \frac {1}{16} \\ & = 1,25 \end {align}$


Dengan demikian, massa unsur yang meluruh adalah:
$\begin {align} L_{0} − L_{n} & = 20 − 1,25 \\ & = 18,75 \end {align}$

Jadi, massa unsur yang meluruh selama 2 jam adalah $\text {18,75 gram}$.

Jawab : E

Soal Nomor 17

Suku kedua dan kelima suatu barisan geometri adalah 3 dan 81. Jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah .........
A. $3^{n+1} − 3$
B. $3^{n+1} − 1$
C. $2.3^{n} − 1$
D. $\dfrac {1}{2} \left(3^{n} − 1 \right)$
E. $\dfrac {1}{3} \left(3^{n} − 1 \right)$

Pembahasan Soal Nomor 17

Penyelesaian :
Diketahui:
$\begin {align} U_{2} & = 3 \\ U_{5} & = 81 \end {align}$

Mencari Rasio
$\begin{align} U_{5} & = U_{2} \times r^{5-2} \\ 81 & = 3.r^{3}\\ \dfrac{81}{3} & = r^{3} \\ 27 & = r^{3} \\ r & = \sqrt[3]{27}\\ r & = 3 \end {align}$

Mencari suku pertama
$\begin {align} U_{2}& = a.r \\ 3 & = a.3 \\ a & = 1 \end {align}$

Jumlah n suku pertama deret geometri dengan rasio lebih dari 1 $(r > 1)$ dirumuskan sebagai berikut:
$\bbox[yellow,5px,border:1px solid red] {S_{n} = \dfrac {a \left(r^{n} - 1\right)}{r-1} \qquad (1)} \\ \\ \begin {align} S_{n} & = \dfrac {1 \left(3^{n} - 1\right)}{3-1} \\ & = \dfrac {1}{2} \left(3^{n} - 1\right)\\ \end {align}$


Jadi, jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah $\dfrac {1}{2} \left(3^{n} - 1\right)$


Jawab : D

Soal Nomor 18

Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan masing-masing potongan membentuk deret aritmetika. Bila potongan tali terpendek adalah $6\; \mathrm{cm}$ dan yang terpanjang $384\; \mathrm{cm}$, panjang tali semula adalah .......
A. $1.375\; \mathrm{cm}$
B. $1.365\; \mathrm{cm}$
C. $1.265\; \mathrm{cm}$
D. $1.245\; \mathrm{cm}$
E. $762\; \mathrm{cm}$

Pembahasan Soal Nomor 18

Penyelesaian :
Diketahui :
$\begin {align} n & = 7 \\ a & = 6 \; \text{cm} \\ U_{7} & = 384\; \mathrm{cm} \end {align}$


Panjang tali semula adalah panjang tali sebelum dipotong menjadi 7 atau sama dengan jumlah ke-7 potongan tersebut
$\begin {align} S_{n}& = \dfrac {n}{2}\left(a+U_{n}\right) \\ S_{7}& = \dfrac {7}{2}\left(6+U_{7}\right) \\ & = \dfrac {7}{2}\left(6+384\right) \\ & = \dfrac {7}{2}\left(390\right) \\ & = 1365 \end {align}$


Jadi, panjang tali semula adalah $1.365\; \mathrm{cm}$


Jawab : B

Soal Nomor 19

Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^{2} + 4x - 3} -2x + 3\right)$ adalah ........
A. $-4$
B. $-2$
C. $0$
D. $2$
E. $4$

Pembahasan Soal Nomor 19

Rumus yang digunakan :
Rumus Alternatif Limit $x$ Mendekati Tak Hingga

Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan tipe soal limit seperti di atas, yang harus kita lakukan adalah merubah atau memodifikasi bentuk soal di atas menjadi sedemikian rupa sehingga menjadi bentuk soal limit pada rumus di atas.

Cara untuk mengubahnya pun cukup sederhana, silahkan anda gunakan prinsip dasar di bawah ini :

$ \bbox[yellow,5px,border:1px solid red] { a = \sqrt {a^{2}} \qquad (1) } $

Sekarang, mari kita selesaikan soal di atas dengan menggunakan prinsip dasar tersebut
$\begin {align} & \quad \lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^{2} + 4x - 3} -2x + 3\right)\\ \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^{2} + 4x - 3} - \left (2x - 3\right) \right) \\ \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{4x^{2}+4x-3}\right ) - \left (\sqrt{\left (2x-3\right)^{2}}\right) \\ \\ & = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{{\color{blue}{4}}x^{2}{\color{red}{+4}}x-3} - \sqrt{4x^{2}{\color{red}{-12}}x+9} \right)\\ \\ & = \dfrac {{\color{red}{b-q}}}{2 \sqrt{{\color{blue}{a}}}} \\ \\ & = \dfrac {{\color{red}{4-\left(-12\right)}}}{2 \sqrt{{\color{blue}{4}}}} \\ \\ & = \dfrac {16}{4} \\ \\ & = 4 \end {align}$


Jadi, nilai dari limit fungsi tersebut adalah $4$


Jawab : E

Soal Nomor 20

Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 2 } \dfrac {2 - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6x + 8}$ adalah ........

A. $- \dfrac {1}{2}$

B. $- \dfrac {1}{8}$

C. $ \dfrac {1}{8}$

D. $\dfrac {1}{4}$

E. $\dfrac {1}{2}$

Pembahasan Soal Nomor 20

Penyelesaian :
Jika ada soal limit fungsi aljabar yang berbentuk pecahan akar atau irrasional maka cara untuk menyelesaikan soal tersebut adalah dengan mengalikan bilangan sekawannya.

CARA 1 (Cara Biasa)
$\begin {align} &\quad \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {2 - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6x + 8} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {2 - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6x + 8} \times \dfrac {2 + \sqrt{x + 2}}{2 + \sqrt{x + 2}} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {4 - x - 2}{x^{2} - 6x + 8 \left(2 + \sqrt{x + 2}\right)} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {- x + 2}{x^{2} - 6x + 8 \left(2 + \sqrt{x + 2}\right)} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {-1 {\color{red}{\left(x - 2\right)}}}{{\color{red}{\left(x-2\right)}} \left(x-4\right) \left(2 + \sqrt{x + 2}\right)} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } - \dfrac {1}{\left(x-4\right) \left(2 + \sqrt{x + 2}\right)} \\ \\ & = - \dfrac {1}{\left(2-4\right) \left(2 + \sqrt{2 + 2}\right)} \\ \\ & = - \dfrac {1}{\left(-2\right) \left(4 \right)} \\ \\ & = \dfrac {1}{8} \end {align}$


Cara 2 (Menggunakan Turunan)
$\begin {align} &\quad \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {2 - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6x + 8} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {2 - \left(x + 2\right)^{1/2}}{x^{2} - 6x + 8} \\ \\ & = \lim\limits_{x \to 2 } \dfrac {-\dfrac {1}{2} \left(x + 2\right)^{-1/2}}{2x-6} \\ \\ & = \dfrac {-\dfrac {1}{2} \left(2 + 2\right)^{-1/2}}{2.2-6} \\ \\ & = \dfrac {-\dfrac {1}{2}\left(4\right)^{-1/2} }{-2} \\ \\ & = \dfrac {-\dfrac {1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{4}}\right)}{-2} \\ & = - \dfrac {1}{4} \times - \dfrac {1}{2} \\ & = \dfrac {1}{8} \end {align}$


Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah $\dfrac {1}{8}$


Jawab : C

Demikianlah pembahasan soal UN Matematika SMA IPA  2017 part.4 No. 16 - 20 dan jangan lupa kunjungi artikel menarik lainnya di blog ini.

NEXT :
Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.5 No. 21 - 25

Terima kasih telah berkunjung dan meluangkan waktunya untuk membaca artikel sederhana ini yang berjudul "Pembahasan Soal UN Matematika SMA  No. 16 - 20". Semoga informasi yang terkandung dalam tulisan ini dapat bermanfaat bagi anda yang membutuhkannya.


Salam sukses untuk kita semua....!!!


Note : Silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part. 3

Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 No. 11 - 15_Hallo, Sobat Pejuang UN. Kali ini saya akan membahas Soal UN Matematika SMA IPA tahun 2017 part 3. Pada edisi kali ini soal-soalnya berisikan materi tentang :

1. Kesamaan Dua Matriks
2. Invers Matriks
3. Sistem Persamaan Linier
4. Nilai Maksimum Fungsi Obyektif_Program Linier
5. Nilai Maksimum Fungsi Obyektif_Program Linier

Nah, bagi sobat pejuang UN yang ingin mengetahui pembahasan sebelumnya silahkan sobat klik pada tautan di bawah ini :
1. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.1 No. 1 - 5
2. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.2 No. 6 - 10

Soal Nomor 11

Diketahui : matriks $A= \begin{pmatrix} -2c & 4\\ 2 & 5 \end{pmatrix} ; B= \begin{pmatrix} -4 & -a\\ -b-5 & b \end{pmatrix} ; C= \begin{pmatrix} -1 & 3\\ 0 & 2 \end{pmatrix} ; $ dan $ D= \begin{pmatrix} 4 & 1\\ -2 & 3 \end{pmatrix}.$ Jika $A + B = CD,$ nilai $a + b + c = ......$
A. $-6$
B. $-2$
C. $0$
D. $6$
E. $8$

Pembahasan Soal Nomor 11

Penyelesaian :

Mencari Matriks A + B
$\begin {align} A + B & = \begin{pmatrix} -2c & 4\\ 2 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & -a\\ -b-5 & b \end{pmatrix} \\ \\ & = \begin{pmatrix} -2c - 4 & 4 - a\\ -b - 3 & b + 5 \end{pmatrix} \end {align}$


Mencari Matriks CD
$\begin {align} CD & = \begin{bmatrix} -1 & 3\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 4 & 1\\ -2 & 3 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} \left (-1.4 + 3.-2 \right) & \left (-1.1 + 3.3 \right) \\ \left (0.4 + 2.-2 \right) & \left (0.1 + 2.3 \right) \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} -4 - 6 & -1 + 9\\ 0 + -4 & 0 + 6 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} -10 & 8\\ -4 & 6 \end{bmatrix} \end {align}$


Kesamaan Dua Matriks
$\begin {align} A + B & = CD \\ \begin{pmatrix} -2c - 4 & 4 - a\\ -b - 3 & b + 5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -10 & 8\\ -4 & 6 \end{pmatrix} \end {align}$


Berdasarkan kesamaan dua matriks di atas, maka di peroleh data sebagai berikut
$\begin {align} 4 - a & = 8 \\ -a & = 8 - 4 \\ -a & = 4 \\ a & = -4 \\ \\ \\ b + 5 & = 6 \\ b & = 6 - 5 \\ b & = 1 \\ \\ \\ -2c - 4 & = -10 \\ -2c & = -10 + 4 \\ -2c & = -6 \\ c & = 3 \end {align}$

Maka nilai $a + b + c$ adalah ....
$\begin {align} a + b + c & = -4 + 1 + 3 \\ & = 0 \end {align}$

Jadi, nilai dari a + b + c adalah $0$

Jawab : C

Soal Nomor 12

Diketahui matriks $A= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 3 & 4 \end{pmatrix}, B= \begin{pmatrix} -5 & -2\\ 3 & 2 \end{pmatrix},$ dan matriks $AB = C$. Matriks $C^{-1}$ adalah invers matriks C, maka $C^{-1} = .......$
A. $\dfrac {1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 3 & -1 \end{pmatrix}$

B. $\dfrac {1}{4} \begin{pmatrix} -2 & 2\\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

C. $\dfrac {1}{4} \begin{pmatrix} 2 & 2\\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

D. $\dfrac {1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

E. $\dfrac {1}{4} \begin{pmatrix} -3 & 2\\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

Pembahasan Soal Nomor 12

Penyelesaian :
Rumus yang digunakan

Jika $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ Maka $A^{-1} = \dfrac {1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$

Sebelum kita mencari invers matriks C. Pertama-tama kita harus mencari matriks C terlebih dahulu dengan cara mengalikan matriks A dengan matriks B

Mencari Matriks C
$\begin {align} C & = A.B \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -5 & -2\\ 3 & 2 \end{pmatrix} \\ \\ & = \begin{pmatrix} \left (2.-5 + 3.3 \right) & \left (2.-2 + 3.2 \right) \\ \left (3.-5 + 4.3 \right) & \left (3.-2 + 4.2 \right) \end{pmatrix} \\ \\ & = \begin{pmatrix} -10 + 9 & -4 + 6\\ -15 + 12 & -6 + 8 \end{pmatrix} \\ \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 2\\ -3 & 2 \end{pmatrix} \end {align}$


Mencari Invers Matriks C
Untuk mencari Invers matriks C, mari kita gunakan rumus Invers matriks di atas.
$\begin {align} C & = \begin{pmatrix} -1 & 2\\ -3 & 2 \end{pmatrix} \\ \\ C^{-1} & = \dfrac {1}{\left (-1.2 \right) - \left (2.-3 \right)} \begin{pmatrix} 2 & -2\\ -\left (-3 \right) & -1 \end{pmatrix} \\ \\ & = \dfrac {1}{-2 + 6} \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 3 & -1 \end{pmatrix} \\ \\ & = \dfrac {1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 3 & -1 \end{pmatrix} \end {align}$


Jadi, invers dari matriks C adalah $\dfrac {1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 3 & -1 \end{pmatrix}$


Jawab : A

Soal Nomor 13

Di toko yang sama, Dira, Anita, dan Sita membeli alat-alat tulis. Dira membeli 2 buku tulis, 1 pensil, dan 1 penggaris dengan harga Rp.19.000,00. Anita membeli 1 buku tulis, 2 pensil, dan 2 penggaris dengan harga Rp.20.000,00. Sedangkan Sita membeli 3 buku tulis, 2 pensil, dan 1 penggaris dengan harga Rp.28.000,00. Harga yang harus dibayar untuk membeli 1 buku tulis, 3 pensil, dan 2 penggaris adalah .......
A. $\text{Rp.23.000,00}$
B. $\text{Rp.24.000,00}$
C. $\text{Rp.25.000,00}$
D. $\text{Rp.27.000,00}$
E. $\text{Rp.33.000,00}$

Pembahasan Soal Nomor 13

Penyelesaian :
Misalkan $x, y,$ dan $z$ secara berurutan mewakili buku tulis, pensil, dan penggaris maka model matematikanya adalah ....
$\begin {alignat}{3} \text {Dira} & = 2x + y + z & = 19.000 & \quad \text{pers. 1}\\ \text {Anita} & = x + 2y + 2z & = 20.000 & \quad \text{pers. 2} \\ \text {Sita} & = 3x + 2y + z & = 28.000 & \quad \text{pers. 3} \end {alignat}$

Mencari nilai $x, \; y, \; \text{dan} \; z$
Pertama, kita eleminasi persamaan 1 dan persamaan 2
$\begin{array}{ll|l} 2x + y + z & = 19.000 & \times 2\\ x + 2y + 2z & = 20.000 & \times 1\\ \hline \end{array}$

$\begin{array} {l} 4x + 2y + 2z & = 38.000 \\ x + 2y + 2z & = 20.000 & \left(-\right)\\ \hline \qquad \qquad 3x & = 18.000 \\ \qquad \qquad x & = 6.000 \end{array}$


Kedua, kita eleminasi persamaan 1 dan persamaan 3
$\begin{array} {l} 3x + 2y + z & = 28.000 \\ 2x + y + z & = 19.000 & \left(-\right)\\ \hline \qquad \quad x + y & = 9.000 \\ \quad 6.000 + y & = 9.000 \\ \qquad \qquad y & = 3.000 \end{array}$


Ketiga, kita substitusikan nilai x dan y pada persamaan 1.
$\begin {align} 2x + y + z & = 19.000 \\ 2\left(6.000 \right) + 3.000 + z & = 19.000 \\ 12.000 + 3.000 + z & = 19.000 \\ 15.000 + z & = 19.000 \\ z & = 19.000 - 15.000 \\ z & = 4.000 \end {align}$


Maka, Harga yang harus dibayar untuk membeli 1 buku tulis, 3 pensil, dan 2 penggaris adalah ...
$\begin {align} x + 3y + 2z & = 6000 + 3 \left (3.000 \right) + 2 \left (4.000 \right)\\ & = 6.000 + 9.000 + 8.000 \\ & = 23.000 \end {align}$


Jadi, harga 1 buku tulis, 3 pensil, dan 2 penggaris adalah $\text{Rp.} 23.000,00$


Jawab : A

Soal Nomor 14

Perusahaan mebel memproduksi dua model meja makan. Biaya untuk membuat tiap meja makan model A adalah Rp.1.200.000,00 sedangkan untuk meja makan model B adalah Rp1.600.000,00. Waktu yang diperlukan untuk membuat setiap meja makan model A adalah 2 hari dan tiap meja makan model B adalah 5 hari. Modal yang tersedia sebesar Rp.22.000.000,00 dan waktu yang tersedia adalah 60 hari. Keuntungan tiap meja makan model A adalah Rp.1.000.000,00 sedangkan tiap meja makan model B adalah Rp.1.500.000,00. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah ........
A. $\text{Rp.22.500.000,00}$
B. $\text{Rp.21.000.000,00}$
C. $\text{Rp.20.000.000,00}$
D. $\text{Rp.15.000.000,00}$
E. $\text{Rp.9.000.000,00}$

Pembahasan Soal Nomor 14

Penyelesaian :
Untuk mempermudah, mari kita susun kedalam bentuk tabel di bawah ini :

Meja	Model A (x)	Model B (y)
Biaya	1.200.000 3	1.600.000 4	22.000.000 55
Waktu	2	5	60
Keuntungan	1.000.000	1.500.000	-

Keterangan: angka yang dicoret berarti masing-masing dibagi 400.000.

Berdasarkan tabel bantuan di atas, maka model matematikanya adalah sebagai berikut :
$\begin {alignat}{3} 3x + 4y & = 55 & \quad \text{pers. 1}\\ 2x + 5y & = 60 & \quad \text{pers. 2} \end {alignat}$

Fungsi Obyektif: $U(x, y) = 1.000.000x + 1.500.000y$


Sekarang, kita mencari nilai $x$ dan $y$ dengan mengeleminasi persamaan 1 dan persamaan 2
$\begin{array}{ll|l} 3x + 4y & = 55 & \times 5\\ 2x + 5y & = 60 & \times 4\\ \hline \end{array}$

$\begin{array} {l} 15x + 20y & = 275 \\ 8x + 20y & = 240 & \left(-\right)\\ \hline \qquad \qquad 7x & = 35 \\ \qquad \qquad x & = 5 \end{array}$

Selanjutnya, kita subtitusikan nilai $x = 5$ ke persamaan 1
$\begin {align} 3x + 4y & = 55 \\ 3\left(5 \right) + 4 y & = 55 \\ 15 + 4y & = 55 \\ 4y & = 55 - 15 \\ 4y & = 40 \\ y & = 10 \end {align}$

Dengan demikian, keuntungan maksimum tercapai ketika x = 5 dan y = 10
$\begin {align} U(x, y) & = 1.000.000x + 1.500.000y \\ U(5, 10) & = 1.000.000x + 1.500.000y \\ & = 1.000.000 \left(5\right) + 1.500.000 \left(10\right) \\ & = 5.000.000 + 15.000.000 \\ & = 20.000.000 \end {align}$


Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah $\text {Rp.}20.000.000,00$


Jawab : C

Soal Nomor 15

Setiap hari seorang pengrajin tas memproduksi dua jenis tas. Modal untuk tas model I adalah Rp.20.000,00 dengan keuntungan 40%. Modal untuk tas model II adalah Rp.30.000,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp.1.000.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 40 tas, keuntungan terbesar yang dapat dicapai pengrajin tas tersebut adalah ........
A. $30\%$
B. $34\%$
C. $36\%$
D. $38\%$
E. $40\%$

Pembahasan Soal Nomor 15

Penyelesaian :
Agar lebih mudah dipahami, mari kita susun kedalam bentuk tabel di bawah ini :

Tas	Model I (x)	Model II (y)	40
Biaya	20.000 2	30.000 3	1.000.000 100
Keuntungan	40% × 20.000 = 8.000	30% × 30.000 = 9.000	-

Keterangan: angka yang dicoret berarti masing-masing dibagi 10.000.

Berdasarkan tabel bantuan di atas, diperoleh model matematika:
$\begin {alignat}{3} x + y & = 40 & \quad \text{pers. 1}\\ 2x + 3y & = 100 & \quad \text{pers. 2} \end {alignat}$

Fungsi Obyektif $U(x, y) = 8.000x + 9.000y$

Sekarang, kita mencari nilai $x$ dan $y$ dengan mengeleminasi persamaan 1 dan persamaan 2
$\begin{array}{ll|l} x + y & = 40 & \times 2\\ 2x + 3y & = 100 & \times 1\\ \hline \end{array}$

$\begin{array} {l} 2x + 2y & = 80 \\ 2x + 3y & = 100 & \left(-\right)\\ \hline \qquad -y & = -20 \\ \qquad y & = 20 \end{array}$

Selanjutnya, kita subtitusikan nilai $y = 20$ ke persamaan 1
$\begin {align} x + y & = 40 \\ x + 20 & = 40 \\ x & = 40 - 20 \\ x & = 20 \end {align}$

Dengan demikian, keuntungan maksimum akan tercapai saat $x = y = 20$
$\begin {align} U(x, y) & = 8.000x + 9.000y \\ U(20, 20) & = 8.000x + 9.000y \\ & = 8.000 \left(20\right) + 9.000 \left(20\right) \\ & = 160.000 + 180.000 \\ & = 340.000 \end {align}$


Dengan demikian, persentase keuntungan terbesar yang dapat dicapai pengrajin tas tersebut adalah
$\begin {align} \% \text{Untung} & = \dfrac {\text{Untung}}{\text{Harga Beli}} \times 100 \% \\ \\ & = \dfrac {340.000}{1.000.000} \times 100 \% \\ \\ & = 34\% \end {align}$


Jadi, persentase keuntungan terbesar yang dapat dicapai pengrajin tas tersebut adalah $34\%$


Jawab : B

Demikianlah pembahasan soal UN Matematika SMA IPA  2017 part.3 No. 11 - 15 dan jangan lupa kunjungi artikel menarik lainnya di blog ini.

NEXT :
Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.4 No. 16 - 20

Terima kasih telah berkunjung dan meluangkan waktunya untuk membaca artikel sederhana ini yang berjudul "Pembahasan Soal UN Matematika SMA  No. 11 - 15". Semoga informasi yang terkandung dalam tulisan ini dapat bermanfaat bagi anda yang membutuhkannya.


Salam sukses untuk kita semua....!!!


Note : Silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part. 2

Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 No. 6 - 10_Hallo, Sobat Pejuang UN. Kali ini saya akan membahas Soal UN Matematika SMA IPA tahun 2017 part 2. Pada edisi kali ini soal-soalnya berisikan materi tentang :

1. Invers Fungsi Komposisi
2. Menentukan Fungsi Jika Komposisi Fungsi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui_Komposisi Fungsi
3. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
4. Menentukan Jenis Akar Persamaan Kuadrat_Diskriminan Persamaan Kuadrat
5. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Nah, bagi sobat pejuang UN yang ingin mengetahui pembahasan sebelumnya silahkan sobat klik pada tautan di bawah ini :
1. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.1 No. 1 - 5
2. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.2 No. 6 - 10
3. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.3 No. 11-15
4. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.4 No. 16-20
5. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.5 No. 21-25
6. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.6 No. 26-30
7. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part 7 No. 31-35
8. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part 8 No. 36-40

Soal Nomor 6

Jika fungsi $f \left (x \right) = \dfrac {2x + 3}{x - 5}, x \neq 5$ dan $g \left (x \right) = 3x + 1$ maka $\left (g \circ f\right)^{-1} \left(x \right) = ...$

A. $\dfrac {5x + 4}{x + 7}, x \neq -7 $

B. $\dfrac {5x + 7}{x - 4}, x \neq 4 $

C. $\dfrac {5x + 4}{x - 7}, x \neq 7 $

D. $\dfrac {5x - 4}{x - 7}, x \neq 7 $

D. $\dfrac {5x - 7}{x - 4}, \neq 4 $

Pembahasan Soal Nomor 6

Penyelesaian :
Sebelum kita mencari nilai dari komposisi fungsi $\left (g \circ f\right)^{-1} \left(x \right)$. Pertama-tama kita harus mencari nilai dari komposisi fungsi $\left (g \circ f\right) \left(x \right)$ terlebih dahulu.

Fungsi $\left (g \circ f\right) \left(x \right)$ adalah adalah fungsi $g$ yang dinyatakan dalam $f \left(x\right)$. hal ini berarti kita harus bepatokan pada $g \left(x\right)$

$\left (g\circ f \right)\left ( x \right) = g\left [ f\left ( x \right) \right]=g\left (\dfrac {2x + 3}{x - 5} \right)$

$\begin {align} g \left ({\color{red} x} \right) & = 3{\color{red}x} + 1 \\ \left ( g\circ {\color{red}f} \right)\left ( x \right) & = 3 {\color{red} {f\left(x \right)}} + 1 \\ \\ & = 3 \left [\dfrac {2x + 3}{x - 5} \right] + 1 \\ \\ & = \dfrac {6x + 9}{x - 5} + 1\\ \\ & = \dfrac {6x + 9}{x - 5} + \dfrac {x - 5}{x - 5} \\ \\ & = \dfrac {7x + 4}{x - 5} \end {align}$

Selanjutnya, kita cari invers dari $\left (g \circ f\right) \left(x \right)$ dengan menggunakan rumus di bawah ini :

Jika $f\left ( x \right )=\dfrac{ax + b}{cx + d}$  maka  $f^{-1}\left ( x \right )=\dfrac{-dx + b}{cx - a}$

$\left (g\circ f \right)\left ( x \right) = \dfrac {7x + 4}{x - 5}$

Dari bentuk fungsi $\left (g\circ f \right)\left ( x \right)$ di atas, kita peroleh data-data sebagai berikut: $a=7, \, b=4, \, c=1$ dan $d=-5.$ Selanjutnya angka-angka tersebut tinggal kita masukkan ke rumus invers di atas tersebut.

Dengan demikian maka,
$\begin {align} \left (g \circ f\right)^{-1} \left(x \right) & = \dfrac{-dx + b}{cx - a} \\ \\ & = \dfrac {5x + 4}{x - 7} \end {align}$

Jadi, invers dari fungsi komposisi tersebut adalah $\dfrac {5x + 4}{x - 7}, x \neq 7 $

Jawab : C

Soal Nomor 7

Diketahui $f:R \rightarrow R$ dan $g:R \rightarrow R$. Jika $g \left (x \right) = 2x - 4$ dan $\left (g \circ f\right) \left (x \right) = 4x^{2} - 24x + 32$, fungsi $f \left (-2 \right)$ adalah .........
A. $12$
B. $24$
C. $32$
D. $50$
E. $96$

Pembahasan Soal Nomor 7

Penyelesaian :
Sebelum kita mencari nilai dari fungsi $f \left (-2 \right)$. Pertama-tama kita harus mencari rumus fungsi $f \left (x \right)$ terlebih dahulu.

Dik :
$g \left (x \right) = 2x - 4 \\ \left (g \circ f\right) \left (x \right) = 4x^{2} - 24x + 32$


Mencari rumus fungsi $f \left (x \right)$
$\begin {align} \left (g\circ f \right)\left ( x \right) & = g\left [ f\left ( x \right) \right] \\ \left (g \circ f\right) \left (x \right) & = 4x^{2} - 24x + 32 \\ g\left [ f\left ( x \right) \right] & = 4x^{2} - 24x + 32 \\ 2{\color{red} {f\left(x \right)}} - 4 & = 4x^{2} - 24x + 32 \\ 2 {\color{red} {f\left(x \right)}} & = 4x^{2} - 24x + 36 \\ {\color{red} {f\left(x \right)}} & = 2x^{2} - 12x + 18 \end {align}$

Setelah rumus fungsi ${\color{red} {f\left(x \right)}}$ diketahui, sekarang kita tinggal memasukkan $x = −2$ pada fungsi $f(x)$ tersebut.

Maka nilai fungsi $f(-2)$ adalah ....
$\begin {align} f\left(x \right) & = 2x^{2} - 12x + 18 \\ {\color{red} {f\left( -2 \right)}} & = 2\left(-2 \right)^{2} - 12\left(-2 \right) + 18 \\ & = 8 + 24 + 18 \\ & = 50 \end {align}$

Jadi, nilai dari $f(−2)$ adalah $50$

Jawab : D

Soal Nomor 8

Akar-akar persamaan $x^{2} - 2x - \left (p + 5\right) = 0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$, dengan ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 28$. Nilai $p$ yang memenuhi adalah .......
A. $-16$
B. $-14$
C. $-7$
D. $7$
D. $14$

Pembahasan Soal Nomor 8

Penyelesaian :
Dari persamaan kuadrat $x^{2} - 2x - \left (p + 5\right) = 0$ diperoleh :
$ \begin {align} a & = 1 \\ b & = -2 \\ c & = - \left (p + 5 \right) \\ & = -p - 5 \end {align}$

Jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat
$x_{1} + x_{2} = -\dfrac {b}{a}= -\dfrac {-2}{1}= {\color{red} 2}$

$x_{1} \times x_{2}= \dfrac {c}{a} = \dfrac {-p - 5}{1} = {\color{red}{-p - 5}}$

Diketahui :
${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 28$

Pertama, kita jabarkan ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ menjadi:
$\begin {align} \left ({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right) & = \left ({x_{1}} + {x_{2}} \right)^{2} \\ \left ({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right) & = {x_{1}}^{2} + 2x_{1}.x_{2} + {x_{2}}^{2} \\ \left ({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right) - 2x_{1}.x_{2} & = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \\ {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} & = \left ({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right) - 2x_{1}.x_{2} \\ {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} & = \left ({x_{1}} + {x_{2}} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} \\ 28 & = \left ({x_{1}} + {x_{2}} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} \end {align}$

Sekarang, kita tinggal memasukan nilai jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat di atas ke :
$\begin {align} \left ({x_{1}} + {x_{2}} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} & = 28 \\ \left ({\color{red} 2} \right)^{2} - 2 \left({\color{red}{-p - 5}} \right) & = 28 \\ 4 + 2p + 10 & = 28 \\ 2p + 14 & = 28 \\ 2p & = 28 - 14 \\ 2p & = 14 \\ p & = 7 \end {align}$


Jadi, nilai $p$ yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut adalah $7$


Jawab : D

Soal Nomor 9

Jika persamaan kuadrat $x^{2} + \left (p + 1\right)x + \left (2 - p \right) = 0$ memiliki akar-akar yang tidak real, nilai $p$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah ........
A. $-1 < p < 7$
B. $-7 < p < 1$
C. $-7 \leq p \leq 7$
D. $p \leq -7 \quad \text{atau} \quad p \geq 7$
E. $p < -7 \quad \text{atau} \quad p > 7$

Pembahasan Soal Nomor 9

Penyelesaian :
Jenis akar-akar persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai Diskriminannya
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya tidak real mempunyai diskriminan negatif $D < 0$.

Berdasarkan persamaan kuadrat $x^{2} + \left (p + 1 \right)x + \left (2 - p \right) = 0$ diperoleh nilai :
$\begin {align} a & = 1 \\ b & = p + 1 \\ c & = 2 - p \end {align}$

$\begin {align} D & < 0 \\ b^{2} - 4ac & < 0 \\ \left(p + 1 \right) - 4.1.\left (2 - p \right) & < 0\\ p^{2} + 2p + 1 − 8 + 4p & < 0 \\ p^{2} + 6p − 7 & < 0 \\ \left (p + 7 \right) \left (p − 1 \right) & < 0 \end {align}$

INGAT :

1. Jika tanda $ ... > 0$ maka $x < x_{\text {kecil}} \quad \text{atau} \quad x > x_{\text {besar}} $
2. Jika tanda $ ... < 0$ maka $x_{\text {kecil}} < x < x_{\text {besar}} $

Karena tanda pertidaksamaannya $"<"$ maka penyelesaiannya berada di antara $−7$ dan $1$.

$−7 < p < 1$


Jadi, nilai $p$ yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut adalah $−7 < p < 1$

Jawab : B

Soal Nomor 10

Akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2} - x - 5 = 0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}.$ Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\left (3x_{1} -1 \right)$ dan $\left (3x_{2} -1 \right)$ adalah........
A. $x^{2} + x - 17 = 0$
B. $x^{2} + x + 13 = 0$
C. $x^{2} + x - 15 = 0$
D. $x^{2} - x - 15 = 0$
D. $x^{2} - x + 15 = 0$

Pembahasan Soal Nomor 10

Penyelesaian :
Rumus-rumus yang digunakan :
Untuk menyusun persamaan kuadrat baru kita dapat menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Secara umum, rumus persamaan kuadrat baru adalah sebagai berikut :

${x}^{2} - $ Jumlah akar $x +$ hasil kali akar $= 0$

atau

$\mathbf{x^{2} - \left ( \alpha +\beta \right)x + \alpha\beta=0} $

Dengan $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat baru.

Langkah-langah menyusun persamaan kuadrat baru
1. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat lama (awal)
2. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat lama
3. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat baru
4. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat baru
5. Susun persamaan kuadrat baru

Dari persamaan kuadrat lama $3x^{2} - x - 5 = 0$ diketahui :
$a = 3, \, b= -1, \, \text {dan} \, c = -5$

1. Jumlah akar persamaan kuadrat lama
$x_{1} + x_{2} = -\dfrac {b}{a}= -\dfrac {-1}{3}= {\color{red} {\dfrac {1}{3}}}$ ........(1)

2. Hasil kali akar persamaan kuadrat lama
$x_{1} \times x_{2}= \dfrac {c}{a} = \dfrac {-5}{3} = {\color{red} {-\dfrac {5}{3}}}$ .......(2)

Selanjutnya, kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar dari akar-akar persamaan kuadrat baru.

3. Jumlah akar persamaan kuadrat baru
$\begin {align} x_{1} + x_{2} & = \left (3x_{1} - 1 \right) + \left (3x_{2} - 1 \right) \\ & = 3x_{1} + 3x_{2} - 2 \\ & = 3 \left (x_{1} + x_{2}\right) - 2 \\ & = 3\left[{\color{red} {\frac {1}{3}}} \right] - 2 \\ & = -1 \end {align}$

4. Hasil kali akar persamaan kuadrat baru
$\begin {align} x_{1} \times x_{2} & = \left (3x_{1} - 1 \right)\times\left (3x_{2} - 1 \right) \\ & = 9x_{1}x_{2} - 3x_{1} - 3x_{2} + 1 \\ & = 9 \left (x_{1}x_{1} \right) - 3 \left (x_{1}+ x_{1}\right) + 1 \\ & = 9 \left[{\color{red} {- \frac {5}{3}}} \right] - 3 \left[{\color{red} {\frac {1}{3}}} \right] + 1 \\ & = - 15 - 1 + 1 \\ & = - 15 \end {align}$

5. Menyusun persamaan kuadrat baru dengan menggunakan rumus di atas.

Maka, persamaan kuadrat barunya adalah :
${x}^{2} - $ Jumlah akar $x + $ hasil kali akar $= 0$
$x^{2} + x - 15 = 0$

Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $ \left(3x_{1} − 1 \right)$ dan $\left (3x_{2} − 1 \right)$ adalah $x^{2} + x − 15 = 0$

Jawab : C

Demikianlah pembahasan soal UN Matematika SMA IPA  2017 part.2 No. 6 - 10 dan jangan lupa kunjungi artikel menarik lainnya di blog ini.

NEXT :
Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.3 No. 11 - 15

Terima kasih telah berkunjung dan meluangkan waktunya untuk membaca artikel sederhana ini yang berjudul "Pembahasan Soal UN Matematika SMA  No. 6 - 10". Semoga informasi yang terkandung dalam tulisan ini dapat bermanfaat bagi anda yang membutuhkannya.


Salam sukses untuk kita semua....!!!


Note : Silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part. 1

Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 No. 1 - 5_Hallo, Sobat Pejuang UN. Kali ini saya akan membahas Soal UN Matematika SMA IPA tahun 2017 part 1. Pada edisi kali ini soal-soalnya berisikan materi tentang :

1. Logaritma
2. Bentuk Pangkat_Eksponen
3. Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma
4. Bentuk Akar
5. Fungsi Kuadrat

Nah, bagi sobat pejuang UN yang ingin mengetahui pembahasan selanjutnya silahkan sobat klik pada tautan di bawah ini :
1. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.1 No. 1 - 5
2. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.2 No. 6 - 10
3. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.3 No. 11-15
4. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.4 No. 16-20
5. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.5 No. 21-25
6. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.6 No. 26-30
7. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part 7 No. 31-35
8. Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part 8 No. 36-40

Soal Nomor 1

Hasil dari $\dfrac {^{\sqrt{5}}\text{log}81 \, . \, ^{9}\text{log}16 \, . \, ^{\sqrt{2}}\text{log} \sqrt{125}}{^{\sqrt{6}}\text{log}72 - ^{\sqrt{6}}\text{log}2}$ adalah .........
A. $6$
B. $12$
C. $24$
D. $36$
E. $48$

Pembahasan Soal Nomor 1

Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan soal nomor satu, silahkan gunakan sifat-sifat logaritma di bawah ini :

$\begin {align} & \left (1\right) \; ^{a}\text{log b}\, - \, ^{a}\text{log c} = \, ^{a} \text{log} \dfrac{b}{c}\\ & \left (2\right) \; ^{a^{q}} \text{log b}^{p} = \dfrac {p}{q} \, ^{a}\text{log b}\\ & \left (3\right) \; ^{a} \text{log b}\, \times \, ^{b} \text{log c} = \, ^{a} \text{log c} \\ & \left (4\right) \; ^{a} \text{log a} = 1 \end {align}$

$\dfrac {^{\sqrt{5}}\text{log}81 \, . \, ^{9}\text{log}16 \, . \, ^{\sqrt{2}}\text{log} \sqrt{125}}{^{\sqrt{6}}\text{log}72 - ^{\sqrt{6}}\text{log}2} = $

Pertama, ubah penyebutnya dengan menggunakan sifat logaritma nomor satu hingga menjadi:
$\begin {align} ^{\sqrt{6}}\text{log}72 - ^{\sqrt{6}}\text{log}2 = \; ^{\sqrt{6}}\text{log}\dfrac {72}{2}\\ = \; ^{\sqrt{6}}\text{log} 36 \end {align}$

Maka bentuk soal di atas akan menjadi :
$\dfrac {^\sqrt{5}\text{log}81 \, . \, ^{9}\text{log}16 \, . \, ^{\sqrt{2}}\text{log} \sqrt{125}}{^{\sqrt{6}}\text{log}36} = $

Kedua, ubah semua angka pada soal di atas menjadi bilangan berpangkat hingga diperoleh bentuk seperti di bawah ini :
$\dfrac {^{5^{1/2}}\text{log}3^{4} \, . \, ^{3^{2}}\text{log}2^{4} \, . \, ^{2^{1/2}}\text{log}5^{3/2}}{^{6^{1/2}}\text{log}6^{2}} = $

Ketiga, sederhanakan soal di atas dengan menggunakan sifat logaritma nomor dua, hingga diperoleh bentuk seperti di bawah ini :
$\begin {align} & = \dfrac {^{5^{1/2}}\text{log}3^{4} \, . \, ^{3^{2}}\text{log}2^{4} \, . \, ^{2^{1/2}}\text{log}5^{3/2}}{^{6^{1/2}}\text{log}6^{2}} \\ \\ & = \dfrac {\frac {4}{1/2} \, ^{5}\text{log}3 \, . \, \frac {4}{2} \, ^{3}\text{log}2 \, . \, \frac {3/2}{1/2} \, ^{2}\text{log}5}{\frac {2}{1/2} \, ^{6}\text{log}6} \\ \\ & = \dfrac {\frac {4}{1/2} \,.\, \frac {4}{2} \,.\, \frac {3/2}{1/2} \,.\, ^{5}\text{log}3 \, . \, ^{3}\text{log}2 \, . \, ^{2}\text{log}5}{\frac {2}{1/2} \,.\, ^{6}\text{log}6} \\ \end {align}$

Keempat, sederhanakan bentuk soal di atas dengan menggunakan sifat logaritma nomor 3 dan nomor 4, hingga diperoleh hasil akhir seperti di bawah ini :
$\begin {align} & = \dfrac {\frac {4}{1/2} \,.\, \frac {4}{2} \,.\, \frac {3/2}{1/2} \,.\, ^{5}\text{log}3 \, . \, ^{3}\text{log}2 \, . \, ^{2}\text{log}5}{\frac {2}{1/2} \,.\, ^{6}\text{log}6} \\ \\ & = \dfrac {\frac {4}{1/2} \,.\, \frac {4}{2} \,.\, \frac {3/2}{1/2} \times 1}{\frac {2}{1/2} \times 1 } \\ \\ & = \dfrac {8 \times 2 \times 3 \times 1}{4 \times 1} \\ & = \dfrac {48}{4} \\ & = 12 \end {align}$


Untuk bentuk lengkapnya seperti di bawah ini :
$\begin {align} & \quad \dfrac {^{\sqrt{5}}\text{log}81 \, . \, ^{9}\text{log}16 \, . \, ^{\sqrt{2}}\text{log} \sqrt{125}}{^{\sqrt{6}}\text{log}72 - ^{\sqrt{6}}\text{log}2} \\ \\ & = \dfrac {^\sqrt{5}\text{log}81 \, . \, ^{9}\text{log}16 \, . \, ^{\sqrt{2}}\text{log} \sqrt{125}}{^{\sqrt{6}}\text{log}36} \\ \\ & = \dfrac {^{5^{1/2}}\text{log}3^{4} \, . \, ^{3^{2}}\text{log}2^{4} \, . \, ^{2^{1/2}}\text{log}5^{3/2}}{^{6^{1/2}}\text{log}6^{2}} \\ \\ & = \dfrac {\frac {4}{1/2} \,.\, \frac {4}{2} \,.\, \frac {3/2}{1/2} \,.\, ^{5}\text{log}3 \, . \, ^{3}\text{log}2 \, . \, ^{2}\text{log}5}{\frac {2}{1/2} \,.\, ^{6}\text{log}6} \\ \\ & = \dfrac {\frac {4}{1/2} \,.\, \frac {4}{2} \,.\, \frac {3/2}{1/2} \times 1}{\frac {2}{1/2} \times 1 } \\ \\ & = \dfrac {8 \times 2 \times 3 \times 1}{4 \times 1} \\ & = \dfrac {48}{4} \\ & = 12 \end {align}$

Jadi, hasil dari bentuk logaritma di atas adalah 12 (B)

Jawab : B

Soal Nomor 2

Hasil dari $\left[\dfrac {25^{- 3/8} . 2^{7/5}}{16^{- 2/5} . 5^{5/4}} \right]$ adalah .........
A. $\dfrac {2}{5}$

B. $\dfrac {8}{25}$

C. $\dfrac {4}{25}$

D. $\dfrac {8}{125}$

E. $\dfrac {4}{125}$

Pembahasan Soal Nomor 2

Penyelesaian :
Sifat-sifat eksponen yang digunakan

$\begin {align} & \left (1\right) \; a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}\\ & \left (2\right) \; \left (a^{m}\right)^{n} = a^{m \times n} \\ & \left (3\right) \; a^{-m} = \dfrac {1}{a^{m}} \\ \end {align}$

Pertama-tama, ubah pangkat negatif menjadi pangkat positif. Setelah itu, ubah bilangan pokoknya menjadi bilangan berpangkat, lalu gunakan sifat-sifat eksponen di atas untuk menyederhanakannya.

Untuk lebih jelasnya perhatikan penyelesaiannya di bawah ini :
$ \begin {align} \left[\dfrac {25^{- 3/8} . 2^{7/5}}{16^{- 2/5} . 5^{5/4}} \right] & = \left[\dfrac {16^{2/5} . 2^{7/5}}{25^{3/8} . 5^{5/4}} \right] \\ \\ & = \left[\dfrac {\left (2^{4}\right)^{2/5} \; . 2^{7/5}}{\left (5^{2}\right)^{3/8} \; . 5^{5/4}} \right] \\ \\ & = \left[\dfrac {2^{8/5} . 2^{7/5}}{5^{3/4} \; . \; 5^{5/4}} \right] \\ \\ & = \left[\dfrac {2^{\left (8/5 \; + \; 7/5 \right)}}{5^{\left (3/4 \; + \; 5/4 \right)}} \right] \\ \\ & = \left[\dfrac {2^{3}}{5^{2}} \right] \\ \\ & = \left[\dfrac {8}{25} \right] \end {align}$

Jadi, hasil dari bentuk pangkat tersebut adalah $\left[\dfrac {8}{25} \right] $

Jawab : B

Soal Nomor 3

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $3.4^{x} - 7.2^{x} + 2 > 0$ adalah .......
A. $x < -1 \quad \text{atau} \quad x > \; ^{2}\text{log}3 $
B. $x < \; ^{2}\text{log} \frac{1}{3} \quad \text{atau} \quad x > 1$
C. $^{2}\text{log} \frac{1}{3} < x < 1$
D. $x < 1 \quad \text{atau} \quad x > \; ^{2}\text{log} \frac{1}{3}$
E. $1 < x < \; ^{2}\text{log} \frac{1}{3}$

Pembahasan Soal Nomor 3

Penyelesaian :
Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat

$\begin {align} & \left (1\right) \; ax^{2} + bx + c < 0 \\ & \left (2\right) \; ax^{2} + bx + c > 0\\ & \left (3\right) \; ax^{2} + bx + c \leq 0 \\ & \left (4\right) \; ax^{2} + bx + c \geq 0 \end {align}$

$3.4^{x} - 7.2^{x} + 2 > 0$

Perhatikan bentuk soal di atas
Untuk lebih memudahkan dalam mencari nilai $x$ nya, kita misalkan saja
$p= 2^{x} \quad \text{sehingga} \quad p^{2} = 4^{x} $

Maka, bentuk soal di atas akan menjadi :
$3p^{2} - 7p + 2 > 0$

Selanjutnya, tinggal kita cari nilai p nya
$\begin {align} 3p^{2} - 7p + 2 & > 0 \\ \left(3p - 1\right)\left(p - 2\right) & > 0 \\ \end {align}$

INGAT :

1. Jika tanda $ ... > 0$ maka $x < x_{\text {kecil}} \quad \text{atau} \quad x > x_{\text {besar}} $
2. Jika tanda $ ... < 0$ maka $x_{\text {kecil}} < x < x_{\text {besar}} $

Karena tanda pertidaksamaannya $">"$ maka hasil penyelesaian bentuk kuadrat tersebut berada di sebelah kiri $1/3$ atau di sebelah kanan $2$.
$p < \dfrac {1}{3} \quad \text{atau} \quad p > 2$

Setelah itu kita kembalikan lagi ke permisalan di atas
1. Mencari nilai $x$ dari $p < \dfrac {1}{3}$
$\begin {align} p & < \dfrac {1}{3} \\ 2^{x} & < \dfrac {1}{3} \\ \text{log 2}^{x} & < \text{log} \frac {1}{3} \\ x \; \text{log 2} & < \text{log} \frac {1}{3} \\ x & < \dfrac {\text{log}\frac {1}{3}}{\text{log 2}} \\ x & < \; ^{2}\text{log} \frac {1}{3} \end {align}$


2. Mencari nilai $x$ dari $p > 2 $
$\begin {align} p & > 2 \\ 2^{x} & > 2^{1} \\ x & > 1 \end {align}$


Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $x < \; ^{2}\text{log} \frac{1}{3} \quad \text{atau} \quad x > 1$

Jawab : B

Soal Nomor 4

Bentuk sederhana dari $\dfrac {\left(\sqrt{10} - \sqrt{5} \right) \left(\sqrt{10} + \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{11} + \sqrt{19}}$ adalah ........
A. $5 \left(2 \sqrt{11} - \sqrt{19} \right)$

B. $\dfrac{1}{5} \left(2 \sqrt{11} + \sqrt{19} \right)$

C. $\dfrac{1}{5} \left(2 \sqrt{11} - \sqrt{19} \right)$

D. $-\dfrac{1}{5} \left(2 \sqrt{11} - \sqrt{19} \right)$

E. $-\dfrac{1}{5} \left(2 \sqrt{11} + \sqrt{19} \right)$

Pembahasan Soal Nomor 4

Penyelesaian :

$\begin {align} & \left (1\right) \; \left (a + b \right) \left (a - b \right) = a^{2} - b^{2}\\ & \left (2\right) \; \left (\sqrt {a} + \sqrt {b} \right) \left (\sqrt {a} - \sqrt {b} \right) = a - b\\ \end {align}$

$\dfrac {\left(\sqrt{10} - \sqrt{5} \right) \left(\sqrt{10} + \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{11} + \sqrt{19}}$

Perhatikan bentuk soal di atas.
Untuk lebih memudahkan dalam menyederhanakan pecahan berbentuk akar pada soal nomor 4. Pertama-tama, kita ubah pembilangnya ke bentuk sederhananya hingga menjadi :
$ \begin {align} & \quad \left(\sqrt{10} - \sqrt{5} \right) \left(\sqrt{10} + \sqrt{5}\right) \\ & = 10 - 5 \\ & = 5 \end {align}$

Maka, bentuk soal di atas akan menjadi :
$\dfrac {5}{2 \sqrt{11} + \sqrt{19}} =$

Setelah itu, kita kalikan dengan bilangan sekawan penyebutnya. Karena penyebutnya berbentuk $\left (\sqrt {a} + \sqrt {b} \right)$ maka bilangan sekawannya berbentuk $\left (\sqrt {a} - \sqrt {b} \right)$.

Untuk lebih jelasnya perhatikan penyelesaiannya di bawah ini :
$ \begin {align} & \quad \dfrac {5}{2 \sqrt{11} + \sqrt{19}} \\ \\ & = \dfrac {5}{2 \sqrt{11} + \sqrt{19}} \times \dfrac {2 \sqrt{11} - \sqrt{19}}{2 \sqrt{11} - \sqrt{19}} \\ \\ & = \dfrac {5 \left (2 \sqrt{11} - \sqrt{19} \right)}{44 - 19} \\ \\ & = \dfrac {5 \left (2 \sqrt{11} - \sqrt{19} \right)}{25}\\ \\ & = \dfrac {1}{5} \left (2 \sqrt{11} - \sqrt{19} \right) \\ \end {align}$

Jadi, bentuk sederhana dari bentuk akar tersebut adalah $\dfrac {1}{5} \left (2 \sqrt{11} - \sqrt{19} \right)$

Jawab : C

Soal Nomor 5

Jika grafik fungsi $y = 2x^{2} + \left(p - 1\right)x + 2$ menyinggung sumbu $X,$ nilai $p$ yang memenuhi adalah ........
A. $p=5 \quad \text{atau} \quad p=2$
B. $p=-5 \quad \text{atau} \quad p=2$
C. $p=5 \quad \text{atau} \quad p=3$
D. $p=-5 \quad \text{atau} \quad p=3$
E. $p=5 \quad \text{atau} \quad p=-3$

Pembahasan Soal Nomor 5

Penyelesaian :
Rumus Diskriminan

$\text{D} = \text{b}^{2} - 4ac$

Syarat menyinggung fungsi kuadrat di sumbu X adalah nilai diskriminan sama dengan nol (D = 0).

Berdasarkan persamaan fungsi kuadrat $y = 2x^{2} + \left(p - 1\right)x + 2$ di peroleh nilai :
$ a = 2 \\ b = \left(p - 1\right) \\ c = 2$

Maka, nilai p adalah ...
$\begin {align} D & = 0 \\ \text{b}^{2} - 4ac & = 0 \\ \left(p - 1\right)^{2} - 4.2.2 & = 0 \\ p^{2} - 2p + 1 - 16 & = 0 \\ p^{2} - 2p - 15 & = 0 \\ \left(p - 5\right)\left(p + 3\right) & = 0 \\ \end {align} \\ p=5 \quad \text{atau} \quad p=-3$

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah $p=5 \quad \text{atau} \quad p=-3$

Jawab : E

Demikianlah pembahasan soal UN Matematika SMA IPA  2017 part.1 No. 1 - 5 dan jangan lupa kunjungi artikel menarik lainnya di blog ini.

NEXT :
Pembahasan Soal UN Matematika SMA IPA 2017 Part.2 No. 6 - 10

Terima kasih telah berkunjung dan meluangkan waktunya untuk membaca artikel sederhana ini yang berjudul "Pembahasan Soal UN Matematika SMA  No. 1 - 5". Semoga informasi yang terkandung dalam tulisan ini dapat bermanfaat bagi anda yang membutuhkannya.


Salam sukses untuk kita semua....!!!


Note : Silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.